专题06 等式与不等式-【备战高考】2021年高三数学高考复习刷题宝典（解答题专练）

专题6等式与不等式 1．解不等式. 2．已知. （1）若不等式的解集为，求实数、的值； （2）若时，对于任意的实数，都有，求的取值范围. 3．已知函数恒成立． （1）求的取值范围； （2）若的最大值为，当正数、满足时，求的最小值． 4．已知a＞0，b＞0，a+b＝3． （1）求的最小值； （2）证明： 5．已知函数. （1）求的最大值； （2）若关于的不等式有解，求实数的取值范围. 6．已知.是不小于的固定正整数. (1) 解不等式； (2) 试证明: 函数在内有一个零点，且在内仅有一个零点. 7．已知函数，且恒成立. （1）求的值； （2）当时，，证明：. 8．某纺纱厂生产甲、乙两种棉纱, 已知生产甲种棉纱吨消耗一级子棉吨、二级子棉吨, 生产乙种棉纱吨消耗一级子棉吨、二级子棉吨, 每吨甲种、乙种棉纱的利润分别是元和元, 工厂在生产中要求消耗一级子棉不超过吨、二级子棉不超过吨, 且甲种棉纱的产量不能超过乙种棉纱的产量吨. （1）请列出符合题意的不等式组及目标函数； （2）甲、乙两种棉纱应各生产多少吨，才能获得最大利润？并求出最大利润. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 $$ 专题6等式与不等式 1．解不等式. 【答案】答案不唯一，具体见解析 【解析】原不等式 ①∴时，不等式的解为 ②时，故原不等式解为或 ③当时，， ∴原不等式解为或 2．已知. （1）若不等式的解集为，求实数、的值； （2）若时，对于任意的实数，都有，求的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）因为的解集为，， 所以方程的两根为、， 故，解得， 经检验：当、时，不等式的解集为. （2）当时，， 对于任意的实数，都有， 即对于任意的实数，都有， 令， 当时，恒成立； 当时，函数是增函数，即，解得； 当时，函数是减函数，即，解得， 综上所述，，的取值范围为. 3．已知函数恒成立． （1）求的取值范围； （2）若的最大值为，当正数、满足时，求的最小值． 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）函数恒成立， 即恒成立， 设函数，则， 又， 即的最小值为4，所以； （2）由（1）知，正数a，b满足， 所以 ， 当且仅当即时，等号成立， 所以的最小值为． 4．已知a＞0，b＞0，a+b＝3． （1）求的最小值； （2）证明： 【答案】（1）；（2）证明见解析 【解析】（1），，且， ，当且仅当即时等号成立， 的最小值为. （2）因为a＞0，b＞0，所以要证，需证， 因为， 所以，当且仅当时等号成立. 5．已知函数. （1）求的最大值； （2）若关于的不等式有解，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】解：（1）依题意有,令,则,所以,当且仅当,即时,等号成立,故的最大值为. （2）由（1）知,的最大值为, 又因为关于的不等式有解, 所以,解得,即. 6．已知.是不小于的固定正整数. (1) 解不等式； (2) 试证明: 函数在内有一个零点，且在内仅有一个零点. 【答案】(1)；(2)证明见解析. 【解析】(1) 时，， 即 解得， 即解集为. （3）， 因为均在上为增函数， 故为增函数. 又，， 的图象在上不间断，故在上有且只有一个零点. 7．已知函数，且恒成立. （1）求的值； （2）当时，，证明：. 【答案】（1）（2）见证明 【解析】（1）， 当且仅当且时，取等号 恒成立可转化为：恒成立，解得： （2）由（1）知： 当，时，有， 由得： 当且仅当时，取等号 ，即： 8．某纺纱厂生产甲、乙两种棉纱, 已知生产甲种棉纱吨消耗一级子棉吨、二级子棉吨, 生产乙种棉纱吨消耗一级子棉吨、二级子棉吨, 每吨甲种、乙种棉纱的利润分别是元和元, 工厂在生产中要求消耗一级子棉不超过吨、二级子棉不超过吨, 且甲种棉纱的产量不能超过乙种棉纱的产量吨. （1）请列出符合题意的不等式组及目标函数； （2）甲、乙两种棉纱应各生产多少吨，才能获得最大利润？并求出最大利润. 【答案】（1），目标函数为；（2）. 【解析】试题分析：（1）依据题设条件直接建立不等式组和目标函数；（2）借助题设条件运用不等式组表示的区域,数形结合进行求解. 试题解析: （1）设生产甲、乙两种棉纱分别为吨、吨, 利润总额为元. 则有,目标函数为. （2）作出（1）中不等式组所表示的可行域把变形为,其中是这条直线在轴上的截距, 当直线经过可行域上点时, 截距最大, 即最大. 解方程组,得的坐标为. 答：甲种棉纱吨、种棉纱吨, 可获得最大利润为万元. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 $$