专题05 数列-【备战高考】2021年高三数学高考复习刷题宝典（解答题专练）

专题5数列 1．在数列中， （1）求； （2）设为的前项和，求的最小值. 2．设数列{an}的前n项和为Sn，点P（Sn，an）在直线（3﹣m）x+2my﹣m﹣3＝0上，（m∈N*，m为常数，m≠3）； （1）求an； （2）若数列{an}的公比q＝f（m），数列{bn}满足，求证：为等差数列，并求bn； （3）设数列{cn}满足cn＝bn•bn+2，Tn为数列{cn}的前n项和，且存在实数T满足Tn≥T，（n∈N*），求T的最大值． 3．各项均为正数的数列{}的前项和为，且点在函数的图象上， （1）求数列{}的通项公式； （2）记求证： 4．已知函数各项均为正数的数列中1,,. （1）求数列的通项公式； （2）在数列中，对任意的正整数·都成立，设为数列的前项和试比较与的大小. 5．已知数列，其中，数列的前项和，数列满足． （1）求数列的通项公式； （2）是否存在自然数，使得对于任意，，有恒成立？若存在，求出的最小值； 6．已知数列的前n项和为，点在直线y＝x＋上．数列满足()，，且其前9项和为153. (1)求数列，的通项公式； (2)设，数列的前n项和为，求使不等式对一切都成立的最大正整数k的值． 7．已知数列{an}中，a1＝2，an＝2－(n≥2，n∈N*)． (1)设bn＝，n∈N*，求证：数列{bn}是等差数列； (2)设cn＝(n∈N*)，求数列{cn}的前n项和Sn． 8．已知数列各项均为正数，为其前项的和，且成等差数列. （1）写出、、的值，并猜想数列的通项公式； （2）证明（1）中的猜想； （3）设，为数列的前项和.若对于任意，都有，求实数的值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 $$ 专题5数列 1．在数列中， （1）求； （2）设为的前项和，求的最小值. 【答案】（1）.（2）. 【解析】（1）由，，，又.同理.故是为首项，为公差的等差数列，是为首项，为公差的等差数列.从而. （2）当为偶数时，.故当时，取得最小值为. 当为奇数时，，故当或时，取得最小值.综上所述，的最小值为. 2．设数列{an}的前n项和为Sn，点P（Sn，an）在直线（3﹣m）x+2my﹣m﹣3＝0上，（m∈N*，m为常数，m≠3）； （1）求an； （2）若数列{an}的公比q＝f（m），数列{bn}满足，求证：为等差数列，并求bn； （3）设数列{cn}满足cn＝bn•bn+2，Tn为数列{cn}的前n项和，且存在实数T满足Tn≥T，（n∈N*），求T的最大值． 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）由题设，（3﹣m）Sn+2man﹣m﹣3＝0① ∴ 由①，n≥2时，（3﹣m）Sn﹣1+2man﹣1﹣m﹣3＝0② ①﹣②得，， ∴． （2）由（1）知， 化简得： ∴是以1为首项、为公差的等差数列， ∴∴． （3）由（2）知．Tn为数列cn的前n项和，因为cn＞0， 所以Tn是递增的，． 所以要满足Tn≥T，（n∈N*），∴ 所以T的最大值是 3．各项均为正数的数列{}的前项和为，且点在函数的图象上， （1）求数列{}的通项公式； （2）记求证： 【答案】(1)；(2)答案见解析. 【解析】(1)∵点在函数的图象上， . ，则两式作差整理可得：. ∵数列{an}各项均为正数，. ∴数列{an}为等差数列. ，，. (2)，， . 即. 4．已知函数各项均为正数的数列中1,,. （1）求数列的通项公式； （2）在数列中，对任意的正整数·都成立，设为数列的前项和试比较与的大小. 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【解析】(1)由题意知 ∴是以1为首项4为公差的等差数列 ∴∴∴; （2） ∴ 5．已知数列，其中，数列的前项和，数列满足． （1）求数列的通项公式； （2）是否存在自然数，使得对于任意，，有恒成立？若存在，求出的最小值； 【答案】（1） ，；（2）16． 【解析】（1）因为． 当时，； 所以． 所以．即． 又， 所以 ． 当时，上式成立． 因为， 所以是首项为，公比为的等比数列，故； ----- 6分 （2）由⑴知，． 则， 假设存在自然数，使得对于任意，有恒成立， 即恒成立，由，解得， 所以存在自然数，使得对于任意， 有此时，的最小值为16． 6．已知数列的前n项和为，点在直线y＝x＋上．数列满足()，，且其前9项和为153. (1)求数列，的通项公式； (2)设，数列的前n项和为，求使不等式对一切都成立的最大正整数k的值． 【答案】(1) ，；(2) . 【解析】解：(1)由已知得，∴ 当时，； 当时， 6也符合上式． ∴ . 由()知是等差数列， 由的前9项和为153，可得， 得，又，∴ 的公差，， ∴，∴ . (2) ∴ 显然是递增数列，∴ 对一切都成立，只要， ∴ ，则 7．已知数列