专题04 平面向量-【备战高考】2021年高三数学高考复习刷题宝典（解答题专练）

专题4平面向量 1．已知向量＝(cosx，sinx)，＝(cosx，﹣sinx)，函数． （1）若，x(0，)，求tan(x＋)的值； （2）若，(，)，，(0，)，求的值． 2．在三角形中，已知内角，，所对的边分别为，，，，，. （1）求边的长； （2）若为直线上的一点，且，求. 3．在中，三内角的对边分别为，已知向量，，函数且. （1）求角的值； （2）若且成等差数列，求. 4．已知向量，，函数. （Ⅰ）若，，求的值； （Ⅱ）在中，角对边分别是，且满足，求的取值范围. 5．已知,,分别为三个内角的对边，,. （1）求； （2）若的中点，，求,. 6．已知向量， ，设函数. （1）求函数的最小正周期； （2）已知分别为三角形的内角对应的三边长， 为锐角， ， ，且恰是函数在上的最大值，求和三角形的面积. 7．设函数，其中向量，． （1）求函数的最小正周期与单调递减区间； （2）在中，、、分别是角、、的对边，已知，，的面积为，求外接圆半径． 8．已知曲线，为曲线上一动点，过作两条渐近线的垂线，垂足分别是和. （1）当运动到时，求的值； （2）设直线（不与轴垂直）与曲线交于、两点，与轴正半轴交于点，与轴交于点，若，，且，求证为定点. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 $$ 专题4平面向量 1．已知向量＝(cosx，sinx)，＝(cosx，﹣sinx)，函数． （1）若，x(0，)，求tan(x＋)的值； （2）若，(，)，，(0，)，求的值． 【答案】（1）－2－；（2） 【解析】（1）因为向量＝(cosx，sinx)，＝(cosx，－sinx)， 所以f(x)＝·＋＝cos2x－sin2x＋＝cos2x＋． 因为f()＝1， 所以cosx＋＝1， 即cosx＝． 又因为x∈(0，π) ， 所以x＝，所以tan(x＋)＝tan(＋)＝＝－2－． （2）若f(α)＝－，则cos2α＋＝－，即cos2α＝－． 因为α∈(，)， 所以2α∈(π，)， 所以sin2α＝－＝－． 因为sinβ＝，β∈(0，)， 所以cosβ＝＝， 所以cos(2α＋β)＝cos2αcosβ－sin2αsinβ＝(－)×－(－)×＝． 又因为2α∈(π，)，β∈(0，)， 所以2α＋β∈(π，2π)， 所以2α＋β的值为． 2．在三角形中，已知内角，，所对的边分别为，，，，，. （1）求边的长； （2）若为直线上的一点，且，求. 【答案】（1）（2）或 【解析】（1）方法一：∵，，∴ ①. 又 ②，所以①与②平方相加得， 即，∴或. 又，∴为锐角，∴，∴，. ∴，∴，所以为等腰直角三角形，∴. 方法二：∵，∴为锐角，∴，∵，∴. ∴， （也可以直接由得，即）. 由正弦定理与余弦定理得：， 又∵，，∴，即. （2）解法一：（i）当时， ， ∴； （ii）当时， ， ∴. 解法二：（i）当时，在中，，，， ∴ ； （ii）当时，在中，，，， ∴ . 3．在中，三内角的对边分别为，已知向量，，函数且. （1）求角的值； （2）若且成等差数列，求. 【答案】（1）；（2）2 【解析】（1） 整理得：， ∵， ∴ ， ∵，∴； （2）由成等差数列，得：， 由余弦定理得：， 由，得：， 三个等式联立解得：. 4．已知向量，，函数. （Ⅰ）若，，求的值； （Ⅱ）在中，角对边分别是，且满足，求的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【解析】(Ⅰ) (Ⅱ)由，得 , 从而得 故 5．已知,,分别为三个内角的对边，,. （1）求； （2）若的中点，，求,. 【答案】(1)；(2)或. 【解析】（1）由已知利用正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式可得，结合范围，可求，利用平面向量数量积的运行可求，根据三角形面积公式即可计算得解． （2）由已知可得，两边平方可得又结合，即可解得的值． 详解： （1) 又 (2) 又或. 6．已知向量， ，设函数. （1）求函数的最小正周期； （2）已知分别为三角形的内角对应的三边长， 为锐角， ， ，且恰是函数在上的最大值，求和三角形的面积. 【答案】解:(Ⅰ) . 因为，所以. (Ⅱ) 由(Ⅰ)知：，时,， 由正弦函数图象可知,当时取得最大值， 所以,. 由余弦定理，，∴， ∴， 从而. 【解析】试题分析：本题主要考查平面向量的数量积、二倍角公式、两角和的正弦公式、三角函数、余弦定理、三角形面积等基础知识，意在考查考生的运算求解能力、转化化归想象能力和数形结合能力．第一问，先利用向量的数量积得到的解析式，利用降幂公式、倍角公式、两角和的正弦公式化简表达式，使之化简成的形式，利用求函数的周期；第二问，先将代入得到的范围，数形结合得到的最大值，并求出此时的