专题02 函数与导数-【备战高考】2021年高三数学高考复习刷题宝典（解答题专练）

专题2函数与导数 1．已知函数，. （1）当时，求函数的最大值； （2）设，当，且，求证：. 2．已知函数，. （1）当时，若在上的最大值为10，求实数的值； （2）若对任意，都有恒成立，求实数的取值范围. 3．已知是函数的一个极值点. （1）求函数的单调区间； （2）曲线与的图象有三个不同的公共点，求实数的取值范围. 4．已知函数，. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）证明：. 5．已知函数有如下性质：如果常数，那么该函数在上是减函数，在上是增函数． （1）研究函数（常数）在定义域内的单调性，并说明理由； （2）对函数和（常数）作出推广，使它们都是你所推广的函数的特例．研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明），并求函数（是正整数）在区间上的最大值和最小值（可利用你的研究结论）． 6．已知()是偶函数，当时，． (1) 求的解析式； (2) 若不等式在时都成立，求m的取值范围． 7．已知定义域为的函数是奇函数． （1）求，的值； （2）用定义证明在上为减函数； （3）若对于任意，不等式恒成立，求的范围． 8．已知函数． （1）若曲线在处的切线与直线垂直，求的极值； （2）若的图象恒在直线的下方． ①求实数的取值范围； ②证明：对任意正整数，都有 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 $$ 专题2函数与导数 1．已知函数，. （1）当时，求函数的最大值； （2）设，当，且，求证：. 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【解析】解1）当时，，. 当时，；当时，. ∴函数在上单调递增，在上单调递减. ∴. （2）由题可知，是函数的零点. 当时，；当时， ∴函数在上单调递增，在上单调递减 故函数要有两个零点，必有，即. 要证，只需证 只需证 ① 由于，，， ∴函数在上存在唯一零点 即. ② 由（1）知，，所以，且当时，取等号 ∴ ∴函数在上存在唯一零点 即. ③ 由②③可知①成立，故. 2．已知函数，. （1）当时，若在上的最大值为10，求实数的值； （2）若对任意，都有恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）-8；（2）. 【解析】（1）当时，由，得， 令，得或. 当变化时，，在的变化情况如下表： 1 2 0 0 单调递减 极小值 -2+b 单调递增 极大值 单调递减 -2+b 所以在上的最大值为，得. （2）由，得， 因为，且等号不能同时取得， 所以，即， 所以恒成立，即. 令，，则， 当时，，，从而， 所以在上为增函数，所以， 所以. 3．已知是函数的一个极值点. （1）求函数的单调区间； （2）曲线与的图象有三个不同的公共点，求实数的取值范围. 【答案】（1）增区间为，；减区间；（2）. 【解析】（1），该函数的定义域为，， 由是函数的一个极值点，有，得， . 由，有或；由，有. 所以函数的单调递增区间为，，单调递减区间； （2）曲线与的图象有三个不同的公共点 等价于方程， 即有三个不同的解， 设，该函数的定义域为， 则， 由得或；由得. 所以函数的单调递增区间为，，单调递减区间. 函数的极大值为，极小值为. 当时，；当时，. 如下图所示： 由图象可知，当时，直线与函数的图象有三个交点， 即曲线与的图象有三个不同的公共点. 综上所述，实数的取值范围是. 4．已知函数，. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）证明：. 【答案】（1）（2）见解析 【解析】（1），切点坐标为，则有. 所以切线方程为：，即. （2）要证：，即证. 令， 则， 当时，单调递减，当时，单调递增 所以. 令，， 当时，单调递增，当时，单调递减 所以，. 所以，. 即. 5．已知函数有如下性质：如果常数，那么该函数在上是减函数，在上是增函数． （1）研究函数（常数）在定义域内的单调性，并说明理由； （2）对函数和（常数）作出推广，使它们都是你所推广的函数的特例．研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明），并求函数（是正整数）在区间上的最大值和最小值（可利用你的研究结论）． 【答案】（1）函数在，上是减函数，在，上是增函数，理由见解析；（2）答案见解析. 【解析】（1）因为，所以函数的定义域为. 设，. 当时，， 函数在上是增函数； 当时, 函数在上是减函数; 又， 所以函数是偶函数， 于是，该函数在上是减函数，在上是增函数， 综上所述：函数在，上是减函数，在，上是增函数； （2）可以把函数推广为（常数），其中n是正整数. 当n是奇数时，函数在上是减函数，在上是增函数，在上是增函数, 在上是减函数； 当n是偶数时，函数在上是减函数，在上是增函数，在上是减函数, 在上是增函数. 因为 所以在上是减函数