1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积（练习）-2020-2021学年高一数学精品备课课件资源（人教A版必修2）

1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积 一、选择题 1.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有(　　) A．14斛 B．22斛 C．36斛 D．66斛 【答案】B 【解析】米堆的体积即为四分之一的圆锥的体积， 设圆锥底面半径为r，则×2πr＝8， 得r＝， 所以米堆的体积为×πr2×5≈(立方尺)， ÷1.62≈22(斛)． 2.三棱锥P－ABC的四个顶点均在半径为2的球面上，且AB＝BC＝CA＝2，平面PAB⊥平面ABC，且三棱锥P－ABC的体积的最大值为(　　) A．4 B．3 C．4 D．3 【答案】B 【解析】根据题意半径为2的球面上， 且AB＝BC＝CA＝2， △ABC是截面为大圆上的三角形， 设圆心为O，AB的中点为N，ON＝＝1， ∵平面PAB⊥平面ABC， ∴三棱锥P－ABC的体积最大时， PN⊥AB，PN⊥平面ABC， PN＝＝， ∴三棱锥P－ABC的体积的最大值为××(2)2×＝3， 故选B. 3.如图，ABC－A′B′C′是体积为1的三棱柱，则四棱锥C－AA′B′B的体积是(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵V三棱锥C－A′B′C′＝V三棱柱ABC－A′B′C′＝， ∴VC－AA′B′B＝1－＝. 4.将若干毫升水倒入底面半径为2cm的圆柱形器皿中，量得水面高度为6cm，若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面高度为(　　) A．6cm B．6cm C．2cm D．3cm 【答案】B 【解析】设圆锥中水的底面半径为rcm，由题意知 πr2×r＝π22×6， 得r＝2， ∴水面的高度是×2＝6(cm)． 5.正方体的的表面积为96，则正方体的体积为(　　) A．48 B．64 C．16 D．96 【答案】B 【解析】设正方体的棱长为a，则6a2＝96， ∴a＝4，故V＝a3＝43＝64. 6.如图所示，已知三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，则三棱锥B1－ABC1的体积为(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】＝－－＝. 7.已知某正三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积为(　　) A．9 B．9＋ C．12 D．12 【答案】D 【解析】由侧视图可知三棱锥的高为2， 底面三角形的高为3，设底面正三角形的边长为a， 由a＝3，解得a＝2. 所以侧棱长为＝2， 所以正三棱锥是正四面体， 所以该三棱锥的表面积为4××(2)2＝12. 8.如图所示，则这个几何体的体积等于(　　) A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】A 【解析】由三视图得几何体为四棱锥， 如图记作S－ABCD，其中SA⊥面ABCD， SA＝2，AB＝2，AD＝2，CD＝4，且ABCD为直角梯形，∠DAB＝90°. ∴V＝SA×(AB＋CD)×AD＝×2××(2＋4)×2＝4，故选A. 9.已知三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC＝2，则此棱锥的体积为(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由于三棱锥S－ABC与三棱锥O－ABC底面都是△ABC，O是SC的中点，因此三棱锥S－ABC的高是三棱锥O－ABC高的2倍，所以三棱锥S－ABC的体积也是三棱锥O－ABC体积的2倍．在三棱锥O－ABC中，其棱长都是1，如图所示， S△ABC＝×AB2＝， 高OD＝＝， 所以VS－ABC＝2VO－ABC＝2×××＝. 10.已知由半圆的四分之三截成的扇形的面积为B，由这个扇形围成一个圆锥，若圆锥的表面积为A，则A∶B等于(　　) A．11∶8 B．3∶8 C．8∶3 D．13∶8 【答案】A 【解析】设圆锥的底面半径为r，母线长为l， 则2πr＝πl，则l＝r， 所以B＝(r)2×π＝πr2， A＝πr2＋πr2＝πr2，得A∶B＝11∶8. 二、填空题 11.已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，且这个球的体积是π，那么这个三棱柱的体积是________． 【答案】48 【解析】设球的半径为r，则 πr3＝π， 得r＝2，柱体的高为2r＝4. 又正三棱柱的底面三角形的内切圆半径与球的半径相等， 所以底面正三角形的边长为4， 所以正三棱柱的体积V＝×(4)2×4＝48. 12.若圆