题型04 利用基本不等式求最值-2021年高考数学题型秒杀之不等式

秒杀高考数学题型之利用基本不等式求最值 【秒杀题型二】：利用基本不等式求最值。 『秒杀策略』：条件：一正、二定、三相等。①和定，积有最大值，当且仅当两正数取等号时最大。 ②积定，和有最小值，当且仅当两正数取等号时最小。 在求最值时要学会三种方法：以母题为例说明三种方法。 【高考母题】：如果 则 的最小值为 ( ) B. C. D. 【解析】：方法一：基本不等式法：思路：求 的最值要把 通过 放缩到 ， ，得 ，选C。 方法二：万能方法：思路：把所求的式子设为 ，与已知条件代入消元（含两个变量）转化为一元二次不等式，如含一个变量直接转化为一元二次不等式，令 得到 的范围。 设 ，代入得 ， ，得 （舍去）， 。 方法三：秒杀方法：思路：当已知条件与所求式子中变量(双变量)系数一致时(或能配成一致时，只考虑一次和或平方和前的系数，乘积不用考虑，因为乘积可以配任意需要的系数.这种方法叫地位等价法求最值，当取等号时取到最值。已知条件与所求式子中 的系数均为1， 的系数均为1，则当 时取到最值，即 时取到最值 。 1.(2007年新课标全国卷7)已知 , , 成等差数列， 成等比数列，则 的最小值为 ( ) A.0 B.1 C.2 D.4 【解析】：基本不等式 ，由等差与等比数列的性质得： ，选D。 2.(高考题)下列结论正确的是 ( ) A.当 且 时， B.当 时， C.当 时， 的最小值为2 D.当 时， 无最大值 【解析】：A选项 可能是负值；C选项取不到等号；D选项中函数为增函数，有最大值；选B。 3.(高考题)若实数 满足 ，则 的最小值是 ( ) A.18 B.6 C. D. 【解析】： ，选B。 秒杀方法：地位等价法：系数一致，当 时取到最值。 4.(2018年天津卷)已知 ，且 ，则 的最小值为 。 【解析】： = 。 秒杀方法：地位等价法：系数一致，当 时取到最值。 5.(2019年高考题天津卷)设 ，则 的最小值为 。 【解析】：原式= 。 6.(2020年新高考江苏卷12)已知 ，则 的最小值是 。 【解析】： ， 。 7.(2020年新高考天津卷14)已知 ，且 ，则 的最小值为 。 【解析】：原式= 。 8.(高考题)若 ，则 的取值范围是 (　　　) A. B. C. D. 【解析】： ，即 ， ，当且仅当 时取等号，选C。 秒杀方法：地位等价法：系数一致，当 时取到最值。 9.(高考题)某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则 。 【解析】： 当且仅当 时取等号。 10.(2017年新高考江苏卷)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为 万元，要使一年的总运费与总存储之和最小，则 的值是 。 【解析】：总费用： ，当且仅当 ，即 时等号成立。 11.(高考题)某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元，若每批生产 件，则平均仓储时间 为 天，且每件产品每天的仓储费用为1元，为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小， 每批应生产产品 ( ) A.60件 B.80件 C.100件 D.120件 【解析】： ，当且仅当 时取等号，选B。 12.(高考题)要制作一个容器为4 ，高为 的无盖长方形容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元， 侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是 。(单位:元) 【解析】：设底面一边长为 ，则另一边长为 ， 。 13.(高考题)若对任意 ， 恒成立，则 的取值范围是 。 【解析】： ，只需 的最大值，即 。 14.(高考题)经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量 (千辆/时)与汽车的平均速 度 (千米/时)之间的函数关系为。 （1）在该时段内，当汽车的平均速度 为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？ （2）若要求在该时段内车流量超过10千辆/时，则汽车的平均速度应在什么范围内？ 【解析】：（1） ，当 时， 最大为11.1千辆/时。 （2）解不等式 ，得 。 15.(