专题06 导数-2021年新高考数学大题专项练习

导数专项练习 1．已知函数. （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）若对于任意的都成立，求的最大值. 2．已知函数（，且，为自然对数的底）． （1）求函数的单调区间． （2）若函数在有零点，证明：． 3．已知函数，. （1）当时，求的极值； （2）当时，求函数极大值的最小值. 4．已知函数，其中，是自然对数的底数． （Ⅰ）求函数的单调递增区间； （Ⅱ）设关于的不等式对恒成立时的最大值为，求的取值范围． 5．已知函数. （1）求函数的单调区间； （2）设，求证：； （3）设，若存在使得，求的最大值. 6．已知函数. （1）设，求的单调区间； （2）求证：存在恰有2个切点的曲线的切线. 7．已知函数.（） （Ⅰ）令，讨论的单调性并求极值； （Ⅱ）令，若有两个零点； （i）求a的取值范围； （ii）若方程有两个实根，，且，证明： 8．设函数，(). （1）若在处的切线平行于直线，求实数的值； （2）设函数，判断的零点的个数； （3）设是的极值点，是的一个零点，且，求证：. 9．已知函数． （1）讨论函数在上的单调性； （2）若，对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围． 10．设，已知函数. （1）若是奇函数，求的值； （2）当时，证明：； （3）设，若实数满足，证明：. 11．已知函数是自然对数的底数，是的导函数． （1）若，求证：在单调递增； （2）证明：有唯一的极小值点（记为），且． 12．已知函数. （1）讨论的零点个数； （2）若不等式对恒成立，求实数的取值范围. 试卷第1页，总3页 试卷第1页，总3页 参考答案 1．（1）；（2）最大值为. 【分析】 （1）先由，得到，对其求导，根据导数的几何意义，即可求出切线方程； （2）先由不等式恒成立，得到，构造函数，利用导数的方法判定其单调性，得到对于任意的都成立，分离参数，得到对于任意的都成立，再由导数的方法求出的最小值，即可得出结果. 【详解】 （1）当时，，得， 则，， 所以在处的切线方程为：. （2）当且时， 由于， 构造函数， 得在上恒成立，所以在上单调递增， ， 由于对任意的都成立， 又，，再结合的单调性知道： 对于任意的都成立，即对于任意的都成立. 令，得， 由，由， 则在上单调递减，在上单调递增， 故，故， 所以的最大值为. 2．（1）当时，增区间为，减区间为．当时，增区间为，减区间为；（2）证明见解析. 【分析】 （1）求导，分和两种情况分别讨论导函数取得正负的区间，从而得出函数的单调区间； （2）由（1）先得出函数的单调性，由此求得函数的最值，从而将函数有正零点问题转化为，再由函数的单调性，分析得当时，，换元可得证． 【详解】 （1）解：由，知． ①当时，定义域为，由，得，由，得． ②当时，定义域为，由，得，由，得． 综上，当时，增区间为，减区间为． 当时，增区间为，减区间为． （2）证明：因为有正零点，所以， 由（1）知在上单调递减，在上单调递增． 所以，即． 对于函数，有，在上单调递减，在上单调递增，故，即不等式恒成立，当且仅当时，取等号． 故当时，，即． 在不等式中，取，可得，即，从而，所以，即． 3．（1）极小值是，无极大值（2）最小值为. 【分析】 （1）当时，得到函数，求得函数的导数，根据导数的符号，得到函数的单调区间，进而求得极值； （2）当时，求得，得出函数单调性与极值，求得函数，再结合的符号，得出函数的单调性，进而求得最小值. 【详解】 （1）当时，函数， 则，+ 令，即，解得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 所以的极小值是，无极大值. （2）当时，由， 可得， 令，解得， ∴在上单调递增，在上单调递减. ∴的极大值. ∵，∴在上单调递减. 故. 4．（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）. 【分析】 （Ⅰ）先对函数求导，分别讨论和两种情况，解对应的不等式，即可求出单调递增区间； （Ⅱ）先由题中条件，得到对恒成立，令，对其求导，利用分类讨论的方法，结合导数的方法判定函数单调性，得出最值，即可求解出结果. 【详解】 （Ⅰ）因为， 所以，因为，， 所以①当即时，恒成立，即恒成立， 所以单调递增，即的单调递增区间为； ②当即时，方程的两根为： ，，且， 由得或； 由得， 则的单调递增区间为，； 综上当时，的增区间为， ②当时，的增区间为，； （Ⅱ）关于的不等式对恒成立，等价于对恒成立， 因为，，所以， 令， 则， 令，则在上恒成立， 所以在上递增；则，即； ①当，即时， 因为，所以， 当，，即，所以在上递增， 所以， 故； ②当即时， 因为，，即， 所以在上递减，所以， 故； ③当，即时， 因为在上递增， 所以存在唯一实数，使得，即， 则当时，，即； 当时，，即， 故在上单减，上单增， 所以， 所以， 设，则， 所以在上递增，所以． 综上所述，． 5．