专题05 圆锥曲线-2021年新高考数学大题专项练习

圆锥曲线专项练习 1．已知椭圆过点，其长轴长､焦距和短轴长三者的平方依次成等差数列，直线与轴的正半轴和轴分别交于点，与椭圆相交于两点，各点互不重合，且满足. （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线的方程为，求的值； （3）若，试证明直线恒过定点，并求此定点的坐标. 2．已知动点到直线的距离比到点的距离大. （1）求动点所在的曲线的方程； （2）已知点，是曲线上的两个动点，如果直线的斜率与直线的斜率互为相反数，证明直线的斜率为定值，并求出这个定值； （3）已知点，是曲线上的两个动点，如果直线的斜率与直线的斜率之和为，证明：直线过定点. 3．已知椭圆经过点，且离心率. （1）求椭圆的标准方程； （2）若斜率为且不过点的直线交于两点，记直线，的斜率分别为，，且，求直线的斜率. 4．如图，已知圆：，点是圆内一个定点，点是圆上任意一点，线段的垂直平分线和半径相交于点.当点在圆上运动时，点的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程； （2）设过点的直线与曲线相交于两点（点在两点之间）.是否存在直线使得？若存在，求直线的方程；若不存在，请说明理由. 5．已知双曲线的方程为：，其左右顶点分别为：，，一条垂直于轴的直线交双曲线于，两点，直线与直线相交于点. （1）求点的轨迹的方程； （2）过点的直线，与轨迹交于，两点，线段的垂直平分线交轴于点，试探讨是否为定值.若为定值，求出定值，否则说明理由. 6．已知椭圆的左､右焦点分别为，，过点作直线交椭圆于，两点(与轴不重合)，，的周长分别为12和8. （1）求椭圆的方程； （2）在轴上是否存在一点，使得直线与的斜率之积为定值？若存在，请求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由. 7．已知椭圆：()的离心率，直线被以椭圆的短轴为直径的圆截得的弦长为. （1）求椭圆的方程； （2）过点的直线交椭圆于，两个不同的点，且，求的取值范围. 8．已知抛物线：的焦点为，直线：与抛物线交于，两点. （1）若，求的面积； （2）若抛物线上存在两个不同的点，关于直线对称，求的取值范围. 9．如图，直线与圆相切于点，与抛物线相交于不同的两点，与轴相交于点. （1）若是抛物线的焦点，求直线的方程； （2）若，求的值. 10．在平面直角坐标系中，己知圆心为点Q的动圆恒过点，且与直线相切，设动圆的圆心Q的轨迹为曲线. （Ⅰ）求曲线的方程； （Ⅱ）过点F的两条直线、与曲线相交于A、B、C、D四点，且M、N分别为、的中点.设与的斜率依次为、，若，求证：直线MN恒过定点. 11．已知椭圆的离心率为，且直线与圆相切． （1）求椭圆的方程； （2）设直线与椭圆相交于不同的两点﹐，为线段的中点，为坐标原点，射线与椭圆相交于点，且点在以为直径的圆上．记，的面积分别为，，求的取值范围． 12．已知抛物线的焦点为点在抛物线上，点的横坐标为且. （1）求抛物线的标准方程； （2）若为抛物线上的两个动点(异于点)，且，求点的横坐标的取值范围. 13．如图，已知点F为抛物线E：y2=2px(p>0)的焦点，点A(2，m)在抛物线E上，且|AF|=3. （1）求抛物线E的方程； （2）已知点G(-1，0)，延长AF交抛物线E于点B，证明：GF为∠AGB的平分线. 14．已知椭圆C：的短轴长为2，离心率为. （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）设过定点的直线与椭圆C交于不同的两点A、B，且∠AOB为锐角，求直线l的斜率k的取值范围． 试卷第1页，总3页 试卷第1页，总3页 参考答案 1．（1）；（2）；（3）证明见解析，. 【分析】 （1）由题意，得到和，结合，求得的值，即可求得椭圆的标准方程； （2）由直线的方程为，根据，求得，得到，联立方程组，结合根与系数的关系，即可求解； （3）设直线的方程为，由，得到和，联立方程组，结合根与系数的关系和，求得，得到直线的方程，即可求解. 【详解】 （1）由题意，因为椭圆过点，可得， 设焦距为，又由长轴长､焦距和短轴长三者的平方依次成等差数列， 可得，即 又因为，解得， 所以椭圆的标准方程为. （2）由直线的方程为，可得而， 设，因为， 可得， 从而， 于是，所以， 由，整理得，可得， 所以. （3）显然直线的斜率存在且不为零， 设直线的方程为，， 可得， 由，可得， 所以，从而，同理， 又，∴， 联立，得， 则， 且 ③代入①得，∴，(满足②) 故直线的方程为，所以直线恒过定点. 2．（1）；（2）证明见解析，定值；（3）证明见解析. 【分析】 （1）根据题意转化为动点到直线的距离和到点的距离相等，结合抛物线的定义，即可求得曲线的方程； （2）由和，分别联立方程组，求得和，结合斜率公式，即可求解； （3）由：，，分别联立方程组和，求得，求得直线的方程，即可求解. 【详解】 （1）已知动点到直线的距离比到点的距离大，