专题03 立体几何-2021年新高考数学大题专项练习

。 立体几何专项练习 1．如图，在直四棱柱（侧棱垂直于底面的棱柱）.中，底面是菱形，且是凌的中点， （1）求证：平面； （2）求二面角的大小. 2．如图，底边是边长为3的正方形，平面平面，. （1）求证：平面平面； （2）在线段上是否存在点，使得二面角的大小为60°？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 3．如图，在四棱锥中，底面为矩形，为等腰直角三角形，，，是的中点，二面角的大小等于120°. （1）在上是否存在点，使得平面平面，若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由. （2）求直线与平面所成角的正弦值. 4．北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用．刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容．用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和．例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是，所以正四面体在各顶点的曲率为，故其总曲率为． （1）求四棱锥的总曲率； （2）若多面体满足：顶点数-棱数+面数，证明：这类多面体的总曲率是常数． 5．如图，四边形中，是等腰直角三角形，，是边长为2的正三角形，以为折痕，将向上折叠到的位置，使点在平面内的射影在上，再将向下折叠到的位置，使平面平面，形成几何体. （1）点在上，若平面，求点的位置； （2）求二面角的余弦值. 6．如图，在四棱柱中，底面是边长为2的菱形，，，点分别为棱，的中点. （1）求证：平面； （2）若，二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值. 7．在四棱锥中，四边形为正方形，平面平面为等腰直角三角形，． （1）求证：平面平面； （2）设为的中点，求点到平面的距离． 8．如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面平面，，，，是线段的中点，连结． （1）求证：； （2）求二面角的余弦值； （3）在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 9．如图菱形中，，与相交于点，平面，，． （1）求证：平面； （2）当直线与平面所成的角为时，求异面直线与所成的角的余弦值大小． 10．如图所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD＝120°，四边形ACFE为矩形，且CF⊥平面ABCD，AD＝CD＝BC＝CF. （1）求证：EF⊥平面BCF； （2）点M在线段EF上运动，当点M在什么位置时，平面MAB与平面FCB所成的锐二面角最大，并求此时二面角的余弦值. 11．如图，在棱长为的正方形中，、分别为，边上的中点，现将点以为轴旋转至点的位置，使得为直二面角． （1）证明：； （2）求异面直线与所成角的余弦值． 12．如图，在四棱锥P-ABCD中，，平面PAB，，点E满足. （1）证明：； （2）求二面角A-PD-E的余弦值. 试卷第1页，总3页 试卷第1页，总3页 参考答案 1．（1）证明见解析；（2）. 【分析】 （1）由勾股定理可得，得出平面，再通过和即可得证； （2）以点为坐标原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，利用向量法可求出. 【详解】 解：（1）因为点是的中点，所以， 又，故在中， 由题可知，，则， 所以. 因为四棱柱是直四棱柱， 故平面，平面， 故， 因为，所以. 又，所以平面； （2）由（1）可知，两两相垂直， 故以点为坐标原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， . 所以， 设平面的法向量为， 则 令则 设平面的法向量为， 则， 令，则， 则， 因为二面角为锐角，则二面角的大小为. 2．（1）证明见解析；（2）存在；. 【分析】 （1）利用面面垂直的性质和线面垂直的判定定理，可证明；（2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系.设，求出二面角夹角的余弦值，构造的等式，求解即可求出比例关系. 【详解】 解：（1）因为平面平面，平面平面，平面，， 所以平面， 因为平面，所以， 又四边形是正方形，所以， 因为，平面，平面， 所以平面. 又平面， 所以平面平面； （2）因为两两垂直，所以以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系. 则，，假设在线段上存在符合条件的点，设，，则， 设平面的法向量为， 则， 令，得， 由（1）知平面，所以是平面的一个法向量， ， 整理得，解得或（舍去）， 故在线段上存在点，使得二面角的大小为60°，此时. 3．（1）在线段上存在点满足题意，为的中点；（2）. 【分析】 （1）取中点，可证，得线面垂直后可得面面垂直； （2）由（1）知就是二面角的平面角，得，建立空间直角坐标系，用空间向量法求线面角． 【详解】 解：（1）在线段上存在点满足题意，且为的中点. 如图，连接，，， ∵四边形是矩形，∴. 又，分别是，的中点， ∴，. ∵为等腰直角三角形