专题02 数列-2021年新高考数学大题专项练习

。 数列专项练习 1．已知公比大于0的等比数列的前项和为，，是和的等差中项. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 2．已知数列的前项和为，且，；数列为等比数列，且，． （1）求，； （2）求数列的前项和． 3．已知公比大于的等比数列满足． （1）求的通项公式； （2）求. 4．已知数列{an}，{bn}，{cn}中，． （Ⅰ）若数列{bn}为等比数列，且公比，且，求q与{an}的通项公式； （Ⅱ）若数列{bn}为等差数列，且公差，证明：． 5．在①；②为等差数列，其中成等比数列；③这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，然后解答补充完整的题目.已知数列中，______. (1)求数列的通项公式； (2)设为数列的前项和，求证：. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 6．已知数列满足，，. （1）设，求证：数列是等比数列； （2）设数列的前项和为，求证：，. 7．已知各项都为正数的数列满足． （1）证明：数列为等比数列； （2）若，求的通项公式． 8．在①，；②；③，.从这三个条件中任选一个填入下面的横线上并解答. 已知数列是等差数列其前项和为，，若_________.(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.) （1）求数列的通项公式； （2）对任意的，将中落入区间内项的个数记为，求数列的通项公式和数列的前项和. 9．在①，②，③这三个条件中选择两个，补充在下面问题中，给出解答． 已知数列的前项和为，满足____，____；又知正项等差数列满足，且，，成等比数列． （1）求和的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 10．设是等比数列，公比大于0，是等差数列，.已知，，，. （Ⅰ）求和的通项公式； （Ⅱ）设数列满足，，其中 （i）求数列的通项公式； （ii）若的前n项和，求. 11．已知为等差数列，为等比数列，． （Ⅰ）求和的通项公式； （Ⅱ）记的前项和为，求证：； （Ⅲ）对任意的正整数，设求数列的前项和． 12．已知数列是等差数列，是数列的前n项和，，. （1）求数列的通项公式； （2）数列满足，求数列的前项和. 13．已知数列的前n项和为，且(). （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足，且数列的前n项和为，求数列的n项和； （3）设，求数列的前n项和. 14．已知数列的前n项和为，各项均为正数的等比数列的前n项和为，________，且. 在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并进行解答. （1）求数列和的通项公式； （2）设数列的前n项和为，求证：. 注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分. 试卷第1页，总3页 试卷第1页，总3页 参考答案 1．（1）；（2）. 【分析】 （1）设数列的公比为，依题意得到方程，求出，从而求出数列的通项公式； （2）由（1）可得的通项公式，再利用错位相减法求和即可； 【详解】 解：（1）设数列的公比为. 由题意知， 即，化简得， 因为，所以. 所以. （2）由（1）可知. 所以，① ，② 由，可得， 所以. 2．（1）．；（2）. 【分析】 （1）由递推式可得，结合已知条件即可求，利用等比数列的通项公式求，，写出通项公式即可. （2）由（1）结合错位相减法求的前项和． 【详解】 （1）时，由得，所以， 整理得，又，所以， 又，即有，得或（舍去）， 所以是以为首项，公差为2的等差数列，则有． 设等比数列公比为，则，，解得，，则有． （2）由（1）知，则① ∴② ①② ． 3．（1）；（2） 【分析】 (1)由题意得到关于首项、公比的方程组，求解方程组得到首项、公比的值即可确定数列的通项公式； (2)首先求得数列的通项公式，然后结合等比数列前n项和公式求解其前n项和即可. 【详解】 (1) 设等比数列的公比为q(q>1)，则， 整理可得：， ， 数列的通项公式为：. (2)由于：，故： . 4．（I）；（II）证明见解析. 【分析】 （I）根据，求得，进而求得数列的通项公式，利用累加法求得数列的通项公式. （II）利用累乘法求得数列的表达式，结合裂项求和法证得不等式成立. 【详解】 （I）依题意，而，即，由于，所以解得，所以. 所以，故，所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以. 所以（）. 所以，又，符合， 故. （II）依题意设，由于， 所以， 故 . 又，而， 故 所以 . 由于，所以，所以. 即， . 5．（1）；（2）证明见解析. 【分析】 （1）若选条件①，，由数列的推式可得，从而得数列是以1为首项，3为公差的等差数列，由等差数列的通项公式可求得的通项公式； 若选择②，设数列的公差为d，由等差数列的通项公式和等比数列的性质可得方程，解之可得的通项公式； 若选择③，由得，当时，，两式相减可求得，从而求得的通项公