专题01 三角函数与解三角形-2021年新高考数学大题专项练习

三角函数与解三角形专项练习 1．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求角C； （2）若D是边BC的中点，，，求的面积． 2．如图，四边形中，为的内角的对边，且满足 （1）证明：； （2）若，且，设，当变化时，求四边形面积的最大值. 3．一个玩具盘由一个直径为米的半圆和一个矩形构成，米，如图所示．小球从点出发以的速度沿半圆轨道滚到某点处后，以的速度沿与点切线垂直的方向弹射到落袋区内，落点记为．记， （1）用表示小球从到所用的时间； （2）当小球从到所用的时间最短时，求的值． 4．在中，分别为角所对的边.在①；②；③这三个条件中任选一个，作出解答. （1）求角的值； （2）若为锐角三角形，且，求的面积的取值范围. 5．已知的面积为，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求： （Ⅰ）和的值； （Ⅱ）的值. 条件①:,；条件②:,.注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分. 6．在中，，，且，再从条件①、条件②中选择一个作为已知，求： （1）的值； （2）的面积． 条件①：； 条件②：． 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． 7．若存在同时满足条件①、条件②、条件③、条件④中的三个，请选择一组这样的三个条件并解答下列问题： （1）求的大小； （2）求和的值. 条件①：； 条件②：； 条件③：； 条件④：. 8．在锐角中，角，，的对边分别为，，，设的面积为，已知，再从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择两个作为已知，求与的值. 条件①：；条件②：；条件③：. 9．如图，矩形是某个历史文物展览厅的俯视图，点在上，在梯形区域内部展示文物，是玻璃幕墙，游客只能在△区域内参观．在上点处安装一可旋转的监控摄像头，为监控角，其中、在线段（含端点）上，且点在点的右下方．经测量得知：米，米，米，．记（弧度），监控摄像头的可视区域△的面积为平方米． （1）分别求线段、关于的函数关系式，并写出的取值范围； （2）求的最小值． 10．已知向量，. （1）求的最大值及取得最大值时的取值集合； （2）在中，分别是角的对边，若且，求面积的最大值. 11．已知函数． （Ⅰ）若，求的值； （Ⅱ）若函数图象上所有点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的倍得函数的图象，且关于的方程在上有解，求的取值范围． 12．已知函数，，在从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求： （1）的最小正周期； （2）在区间上的最大值． 条件①：； 条件②：． 13．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的存在，求出其面积；若不存在，说明理由. 问题：是否存在，它的内角，，所对的边分别为，，，且，，________？注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 14．在① ，②这两个条件中任选一个补充在下面问题中，并解答． 已知，，分别为的内角，，的对边，若，______，求面积的最大值． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 15．的内角，，的对边分别为，，．已知． （Ⅰ）求； （Ⅱ）已知，，且边上有一点满足，求． 试卷第4页，总4页 试卷第3页，总4页 参考答案 1．（1）．（2） 【分析】 （1）直接利用正弦定理和三角函数关系式的恒等变换求出的值． （2）利用正弦定理和余弦定理及三角函数关系式的变换的应用，进一步利用三角形的面积公式的应用求出结果． 【详解】 （1）， 由正弦定理得， ， ， ， ，， ，. （2），，， ， ， 设，，， 在中，， ，， ，，， . 2．（1）证明见解析；（2）. 【分析】 （1）由已知条件化简可得，再由正弦定理可得； （2）由条件和（1）的结论可得为等边三角形，利用，结合辅助角公式，可得平面四边形OACB面积的最大值． 【详解】 （1）因为， 所以， 所以， 所以，即， 由正弦定理得； （2）因为，所以， 所以为等边三角形， 由余弦定理得， 所以 ， 因为，所以， 所以当即时，四边形面积取得最大值. 3．（1），；（2） 【分析】 （1）先计算A到E弧长为，确定这一段的用时，再计算EF长度确定此段用时，再相加即得结果； （2）对函数求导，研究其单调性得到极小值点，即得到最短时间时的值. 【详解】 解：（1）依题意，，半径是1，故A到E弧长为，通过A到E弧长所用时间是，过作于，则，，得，则此时所用时间为 所以，； （2）， 记，且，则， 当时，，所以，单调递减， 当时，，所以，单调递增， 所以时，用时最短． 所以，当时，小球从到所用的时间最短． 4．条件选择见解析；（1）；（2）. 【分析】 （1）选择条件①，利用正弦定理化简已知条件，再利用两角和的正弦公式化简得，根据三角形内角性质得出且，即可求出角的值；选择条件②，根据向量的数量积公式以及三角