专题13 坐标系与参数方程-【备战高考】2021年高三数学高考复习刷题宝典（压轴题专练）

专题13坐标系与参数方程 1．已知直线的参数方程为（为参数），以平面直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，椭圆的极坐标方程为. （1）求直线的普通方程（写成一般式）和椭圆的直角坐标方程（写成标准方程）； （2）若直线与椭圆相交于，两点，且与轴相交于点，求的值. 2．在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数，）.在以为极点，轴正半轴为极轴的极坐标中，曲线：. （1）当时，求与的交点的极坐标； （2）直线与曲线交于，两点，线段中点为，求的值. 3．已知椭圆的左右焦点分别为，上顶点为B，离心率为e，点P在椭圆上（异于点B）. （1）若椭圆C经过点及，求的取值范围； （2）记直线的斜率分别为，若，且，求椭圆C的离心率. 4．在平面直角坐标系xOy中，不过原点的动直线l：y=x+m交抛物线C：x2=2py（p＞0）于A、B两点，且． （1）求抛物线C的方程； （2）设直线y=x与C的异于原点的交点为P，直线l与C在点P处的切线的交点为D，设，问：t是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，试说明理由． 5．在平面直角坐标系中，对于任意一点，总存在一个点满足关系式：（，），则称为平面直角坐标系中的伸缩变换. （1）在同一直角坐标系中，求平面直角坐标系中的伸缩变换，使得椭圆变换为一个单位圆； （2）在同一直角坐标系中，△（为坐标原点）经平面直角坐标系中的伸缩变换（，）得到△，记△和△的面积分别为S与，求证：； 6．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是为参数，直线l的参数方程是为参数，与C相交于点A、以直角坐标系xOy的原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求曲线C的普通方程和极坐标方程； （2）若，求． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 $$ 专题13坐标系与参数方程 1．已知直线的参数方程为（为参数），以平面直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，椭圆的极坐标方程为. （1）求直线的普通方程（写成一般式）和椭圆的直角坐标方程（写成标准方程）； （2）若直线与椭圆相交于，两点，且与轴相交于点，求的值. 【答案】（1），；（2）. 【解析】（1）由（为参数）消去参数， 即得直线的普通方程为， 将，代入， 得， 即椭圆的直角坐标方程为； （2）由（1）知直线：与轴的交点的坐标为，直线的标准 参数方程为：（为参数）， 代入，化得， 设点，对应的参数值分别为，， 则，，且，异号，所以 2．在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数，）.在以为极点，轴正半轴为极轴的极坐标中，曲线：. （1）当时，求与的交点的极坐标； （2）直线与曲线交于，两点，线段中点为，求的值. 【答案】（1），；（2） 【解析】（1）依题意可知，直线的极坐标方程为（）， 当时，联立解得交点， 当时，经检验满足两方程，（易漏解之处忽略的情况） 当时，无交点； 综上，曲线与直线的点极坐标为，， （2）把直线的参数方程代入曲线，得， 可知，， 所以. 3．已知椭圆的左右焦点分别为，上顶点为B，离心率为e，点P在椭圆上（异于点B）. （1）若椭圆C经过点及，求的取值范围； （2）记直线的斜率分别为，若，且，求椭圆C的离心率. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 （1）椭圆的方程为，和都在椭圆上， 代入椭圆的方程得：. 由及解得：，，， 椭圆的方程为. ， 则 所以 （2）， 由条件，， 又,则有,代入得, 又P在椭圆上，代入椭圆方程, 化简得， 将代入椭圆方程得: ,因为化简得,即，解得. 4．在平面直角坐标系xOy中，不过原点的动直线l：y=x+m交抛物线C：x2=2py（p＞0）于A、B两点，且． （1）求抛物线C的方程； （2）设直线y=x与C的异于原点的交点为P，直线l与C在点P处的切线的交点为D，设，问：t是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，试说明理由． 【答案】（1）；（2）见解析 【解析】（1）联立消去并整理得：， 设，，，，则，， ， ， ，又因为，， 抛物线的方程为：． （2）由可得， 由求导得，所以在点处的切线为：，即， 联立可得，， 又直线的参数方程为：为参数）， 将直线的参数方程代入到得， 设，对应的参数为，， 则， 为定值． 5．在平面直角坐标系中，对于任意一点，总存在一个点满足关系式：（，），则称为平面直角坐标系中的伸缩变换. （1）在同一直角坐标系中，求平面直角坐标系中的伸缩变换，使得椭圆变换为一个单位圆； （2）在同一直角坐标系中，△（为坐标原点）经平面直角坐标系中的伸缩变换（，）得到△，记△和△的面积分别为S与，求证：； 【答案】(1)；(2)见详解. 【解析】(1)因为椭圆的标准方程为，又单位圆的方程为， 因此要想由椭圆变换为一个单位圆，伸缩变换只需为； （2）先设，因为为