专题12 复数-【备战高考】2021年高三数学高考复习刷题宝典（压轴题专练）

专题12复数 1.复数 所对应的点在点 及 为端点的线段上运动，复数 满足 ，求： （1）复数 模的取值范围； （2）复数 对应的点的轨迹方程. 2.已知复数 ，其中 为虚数单位，对于任意复数 ，有 ， ． （1）求 的值； （2）若复数 满足 ，求 的取值范围； （3）我们把上述关系式看作复平面上表示复数 的点 和表示复数 的点 之间的一个变换，问是否存在一条直线 ，若点 在直线 上，则点 仍然在直线 上？如果存在，求出直线 的方程，否则，说明理由． 3.设复平面上点Z1 ， Z2 ， …，Zn ， …分别对应复数z1 ， z2 ， …，zn ， …； （1）设z=r（cosα+isinα），（r＞0，α∈R），用数学归纳法证明：zn=rn（cosnα+isinnα），n∈Z+ （2）已知 ，且 （cosα+isinα）（α为实常数），求出数列{zn}的通项公式； （3）在（2）的条件下，求 |+…． 4.已知复数z1=m+ni（m，n∈R），z=x+yi（x，y∈R），z2=2+4i且 ． （1）若复数z1对应的点M（m，n）在曲线 上运动，求复数z所对应的点P（x，y）的轨迹方程； （2）将（1）中的轨迹上每一点按向量 方向平移 个单位，得到新的轨迹C，求C的轨迹方程； （3）过轨迹C上任意一点A（异于顶点）作其切线，交y轴于点B，求证：以线段AB为直径的圆恒过一定点，并求出此定点的坐标． 5.设复数z满足，．求z的值和|z－ω|的取值范围． 6.已知方程 ， ． （1）设 ， 为虚数单位，且 是方程 的一个根，求 ； （2）设 、 是方程 的两个根，若 ，求 的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 $$ 专题12复数 1.复数 所对应的点在点 及 为端点的线段上运动，复数 满足 ，求： （1）复数 模的取值范围； （2）复数 对应的点的轨迹方程. 【答案】 （1）解：设 ，则 ； （2）解： ； 【解析】(1)根据条件可设 ，由此可表示出 的模形式，进而得出 模的范围；（2）复数 对应的点的轨迹方程即求点的横、纵坐标的等量关系，将 用（1）中的形式进行表示，转化为参数方程，即可解决轨迹方程． 2.已知复数 ，其中 为虚数单位，对于任意复数 ，有 ， ． （1）求 的值； （2）若复数 满足 ，求 的取值范围； （3）我们把上述关系式看作复平面上表示复数 的点 和表示复数 的点 之间的一个变换，问是否存在一条直线 ，若点 在直线 上，则点 仍然在直线 上？如果存在，求出直线 的方程，否则，说明理由． 【答案】 （1）解：因为 ，所以 ， 故 ，所以 ， 又 ， 故 （2）解：由 ，得复数 的轨迹是点 ， 的中垂线， 又 , 所以 ， 即 ， 故 的取值范围为 （3）解：设 ， ， 由 ，得 ，① 设存在直线 满足题意，则直线 一定过原点，故设直线 的方程为 ，② 由题意知：把①代入②可得 ，③ 把②代入③可得 ，解得 ， 故存在直线 ，其方程为 . 【解析】（1）利用复数的模的性质即可得解；（2）利用复数的几何意义即可得解；（3）设 ， ，由 ，得 ，①设存在直线 ，则直线 一定过原点，故设直线 的方程为 ，②，联立化简即可得解. 3.设复平面上点Z1 ， Z2 ， …，Zn ， …分别对应复数z1 ， z2 ， …，zn ， …； （1）设z=r（cosα+isinα），（r＞0，α∈R），用数学归纳法证明：zn=rn（cosnα+isinnα），n∈Z+ （2）已知 ，且 （cosα+isinα）（α为实常数），求出数列{zn}的通项公式； （3）在（2）的条件下，求 |+…． 【答案】（1）证明：当n=1时，左边=r（cosθ+isinθ），右边=r（cosθ+isinθ）， 左边=右边，即n=1等式成立； 假设当n=k时等式成立，即：[r（cosθ+isinθ）]k=rk（coskθ+isinkθ）， 则当n=k+1时，[r（cosθ+isinθ）]k+1=[r（cosθ+isinθ）]kr（cosθ+isinθ） =rk（coskθ+isinkθ）rk（cosθ+