专题10 推理与证明-【备战高考】2021年高三数学高考复习刷题宝典（压轴题专练）

专题10推理与证明 1．已知数列，，. （1）求证：； （2）求证：. 2．已知函数，的在数集上都有定义，对于任意的，当时，或成立，则称是数集上的限制函数. （1）求在上的限制函数的解析式； （2）证明：如果在区间上恒为正值，则在上是增函数；[注：如果在区间上恒为负值，则在区间上是减函数，此结论无需证明，可以直接应用] （3）利用（2）的结论，求函数在上的单调区间. 3．若正项数列满足：，则称此数列为“比差等数列”． （1）试写出一个“比差等数列”的前项； （2）设数列是一个“比差等数列”，问是否存在最小值，如存在，求出最小值；如不存在，请说明理由； （3）已知数列是一个“比差等数列”，为其前项的和，试证明：． 4．已知平面上一个圆可以将平面分成两个部分，两个圆最多可以将平面分成4个部分，设平面上个圆最多可以将平面分成个部分． 求，的值； 猜想的表达式并证明； 证明：． 5．数列满足. （1）计算，并猜想的通项公式； （2）用数学归纳法证明（1）中的猜想. 6．设,对于，有. （1）证明： （2）令, 证明 ：（I）当时， （II）当时， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 $$ 专题10推理与证明 1．已知数列，，. （1）求证：； （2）求证：. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】（1）①先利用数学归纳法证明. （ⅰ）当时，成立； （ⅱ）假设时成立，则，. 综上所述，对任意的，； ②利用导数证明，设，则， 当时，，此时函数单调递减； 当时，，此时函数单调递增. 所以，，即，当且仅当时，等号成立. ，，即，，， 综合①②可知； （2）利用数学归纳法证明. ①当时，满足； ②假设时成立，即， 则由，得， 要证，令，则要证， 构造，，， 令，， 则， 所以，函数在上单调递减，， 所以，函数在上单调递增，，即成立， 即，， 综上，当且仅当时等号成立， 由于，可知， 所以，，，，， . 2．已知函数，的在数集上都有定义，对于任意的，当时，或成立，则称是数集上的限制函数. （1）求在上的限制函数的解析式； （2）证明：如果在区间上恒为正值，则在上是增函数；[注：如果在区间上恒为负值，则在区间上是减函数，此结论无需证明，可以直接应用] （3）利用（2）的结论，求函数在上的单调区间. 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）见解析. 【解析】解：（1）任意的，； 由于任意性：； 故构造； 由幂函数性质得在单调递减， 且易得：，满足题意， 故：； （2）运用反证法，即假设在上不是增函数， 若在上是减函数，可得在区间上恒为负值； 若在上是常数函数，可得在区间上恒为零； 若在上是有增有减，可得在区间上可能为正可能为负； 这与在区间上恒为正值矛盾，故在上是增函数； （3）任意的，当， ， 构造； 任取，， ， ， 故：， 是数集上的限制函数， ，解得 利用（2）结论，当函数单调递增， ，解得 利用（2）结论，当函数单调递减. 3．若正项数列满足：，则称此数列为“比差等数列”． （1）试写出一个“比差等数列”的前项； （2）设数列是一个“比差等数列”，问是否存在最小值，如存在，求出最小值；如不存在，请说明理由； （3）已知数列是一个“比差等数列”，为其前项的和，试证明：． 【答案】（1）、、（答案不唯一）；（2）存在，且的最小值为；（3）证明见解析. 【解析】（1）由于数列为“比差等数列”，则，可得. 由于数列每项都是正数，则，可得出. 若，则，. 因此，“比差等数列”的前项可以是、、（答案不唯一）； （2）由（1）可知，，则， ， 当且仅当时，等号成立，因此，有最小值； （3）由题意可得. 由于双勾函数在上是增函数， ，，且，则， 同理可得. 猜想，当时，. 假设当时，猜想成立，即； 那么当时，由于函数在上是增函数， 且， 所以，. 由归纳原理可知，当时，. 于是有，、、、， 将上述不等式全部相加得. 因此，. 4．已知平面上一个圆可以将平面分成两个部分，两个圆最多可以将平面分成4个部分，设平面上个圆最多可以将平面分成个部分． 求，的值； 猜想的表达式并证明； 证明：． 【答案】（1）8，14；（2），证明见解析；（3）证明见解析 【解析】由已知有：，， ， 下面用数学归纳法证明： 当时，结论成立； 假设时，结论成立，即平面上k个圆最多可以将平面分成个部分， 那么当时，第个圆与前k个圆最多有2k个交点，即此第个圆最多被这2k个交点分成2k条圆弧段，由于每增加一个圆弧段，可将原来的区域分成两个区域，因此第个圆使平面增加了2k个区域， 所以， 综合得：即平面上n个圆最多可以将平面分成个部分， 即命题得证 证明：当或2或3时，， 即， 且时， 设， 则， 设， 因为，所以，所以 所以时，数列是单调递减数列，所以， 所