专题09 计数原理与概率统计-【备战高考】2021年高三数学高考复习刷题宝典（压轴题专练）

专题9计数原理与概率统计 1．已知，设多项式，满足，. （1）求，的值； （2）试探究对于一切正整数，是否一定是整数？并证明你的结论； （3）求证：当时，. 2．某工厂生产了一批高精尖的仪器，为确保仪器的可靠性，工厂安排了一批专家检测仪器的可靠性，毎台仪器被毎位专家评议为“可靠”的概率均为，且每台仪器是否可靠相互独立． （1）当，现抽取4台仪器，安排一位专家进行检测，记检测结果可靠的仪器台数为，求的分布列和数学期望； （2）为进一步提高出厂仪器的可靠性，工厂决定每台仪器都由三位专家进行检测，只有三位专家都检验仪器可靠，则仪器通过检测．若三位专家检测结果都为不可靠，则仪器报废．其余情况，仪器需要回厂返修．拟定每台仪器检测费用为100元，若回厂返修，每台仪器还需要额外花费300元的维修费．现以此方案实施，且抽检仪器为100台，工厂预算3.3万元用于检测和维修，问费用是否有可能会超过预算？并说明理由． 3．设集合＝{1，2，3，…，n}(其中n≥3，n)，将的所有3元子集（含有3个元素的子集）中的最小元素的和记为. （1）求，，的值； （2）试求的表达式. 4．设为给定的大于2的正整数，集合，已知数列：，，…，满足条件： ①当时，； ②当时，. 如果对于，有，则称为数列的一个逆序对.记数列的所有逆序对的个数为. （1）若，写出所有可能的数列； （2）若，求数列的个数； （3）对于满足条件的一切数列，求所有的算术平均值. 5．甲､乙两位同学每人每次投掷两颗骰子，规则如下：若掷出的点数之和大于6，则继续投掷；否则，由对方投掷.第一次由甲开始. （1）若连续两次由甲投掷，则称甲为“幸运儿”，在共投掷四次的情况下，求甲为“幸运儿”的概率； （2）设第次由甲投掷的概率为，求. 6．（某工厂生产零件A，工人甲生产一件零件A，是一等品、二等品、三等品的概率分别为，工人乙生产一件零件A，是一等品、二等品、三等品的概率分别为．己知生产一件一等品、二等品、三等品零件A给工厂带来的效益分别为10元、5元、2元. （1）试根据生产一件零件A给工厂带来的效益的期望值判断甲乙技术的好坏； （2）为鼓励工人提高技术，工厂进行技术大赛，最后甲乙两人进入了决赛．决赛规则是：每一轮比赛，甲乙各生产一件零件A，如果一方生产的零件A品级优干另一方生产的零件，则该方得分1分，另一方得分-1分，如果两人生产的零件A品级一样，则两方都不得分，当一方总分为4分时，比赛结束，该方获胜．Pi+4（i=4，3，2，…，4）表示甲总分为i时，最终甲获胜的概率． ①写出P0，P8的值； ②求决赛甲获胜的概率． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 $$ 专题9计数原理与概率统计 1．已知，设多项式，满足，. （1）求，的值； （2）试探究对于一切正整数，是否一定是整数？并证明你的结论； （3）求证：当时，. 【答案】（1），；（2）是整数，证明见解析；（3）证明见解析 【解析】（1）由，得， 由，得， 联立得，. （2）由（1）得， 由，，…， 猜想：对于一切正整数，是整数， 用数学归纳法证明：对一切正整数，是整数. ①当时，，结论成立. ②假设当时，结论成立， 即是整数， 则当时， . 根据假设是整数，而显然是整数. ∴是整数，从而当时，结论也成立. 由①、②可知对对一切正整数，是整数. （3）当时，欲证，只需证明， 因为 ， 所以对任意正整数，都有成立. 2．某工厂生产了一批高精尖的仪器，为确保仪器的可靠性，工厂安排了一批专家检测仪器的可靠性，毎台仪器被毎位专家评议为“可靠”的概率均为，且每台仪器是否可靠相互独立． （1）当，现抽取4台仪器，安排一位专家进行检测，记检测结果可靠的仪器台数为，求的分布列和数学期望； （2）为进一步提高出厂仪器的可靠性，工厂决定每台仪器都由三位专家进行检测，只有三位专家都检验仪器可靠，则仪器通过检测．若三位专家检测结果都为不可靠，则仪器报废．其余情况，仪器需要回厂返修．拟定每台仪器检测费用为100元，若回厂返修，每台仪器还需要额外花费300元的维修费．现以此方案实施，且抽检仪器为100台，工厂预算3.3万元用于检测和维修，问费用是否有可能会超过预算？并说明理由． 【答案】（1）分布列详见解析，数学期望；（2）不会超过预算，理由详见解析． 【解析】（1）题意知的所有可能取值为，，，，4， 且服从参数为的二项分布， 所以 ， ， ， ， ． 故 的分布列为 ： X 0 1 2 3 4 P 从而． （2）设每台仪器所需费为X元，则X的可能取值为100，400． ，． 所以=， 化简得， 令， ，解得， 当，，在单调递增， 当，，在单调递减， 所以当时，的最大值为． 实施此方案，最高费用为元33000元，不会超过预算