专题08 平面解析几何-【备战高考】2021年高三数学高考复习刷题宝典（压轴题专练）

专题8平面解析几何 1．在平面直角坐标系中，已知，直线：，点为平面内的动点，过点做直线的垂线，垂足为点，且，点的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程； （2）设，过且与轴不重合的直线与曲线相交于不同的两点，.则的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时直线的方程；若不存在，请说明理由. 2．已知圆：和点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线和相交于点，的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程； （2）点是曲线与轴正半轴的交点，直线交于､两点，直线，的斜率分别是，，若，求面积的最大值. 3．已知椭圆的左､右焦点分别为，，且，设是上一点，且，. （1）求椭圆的方程； （2）若不与轴垂直的直线过点，交椭圆于，两点，试判断在轴的负半轴上是否存在一点，使得直线与斜率之积为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 4．如图所示，在平面直角坐标系中，已知点为椭圆的上顶点.椭圆以椭圆的长轴为短轴，且与椭圆有相同的离心率. （1）求椭圆的标准方程； （2）过点作斜率分别为的两条直线，直线与椭圆分别交于点，直线与椭圆分别交于点. （i）当时，求点的纵坐标； （ii）若两点关于坐标原点对称，求证：为定值. 5．已知椭圆：，圆：的圆心在椭圆上，点到椭圆的右焦点的距离为2． （1）求椭圆的方程； （2）过点作直线交椭圆于，两点，若，求直线的方程． 6．已知椭圆左顶点为，离心率为，且过点. （1）求的方程； （2）过抛物线上一点P的切线交于两点，线段，的中点分别为.求证：对任意，都存在这样的点P，使得所在直线平行于轴. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 $$ 专题8平面解析几何 1．在平面直角坐标系中，已知，直线：，点为平面内的动点，过点做直线的垂线，垂足为点，且，点的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程； （2）设，过且与轴不重合的直线与曲线相交于不同的两点，.则的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时直线的方程；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）；（2）直线的方程为，的内切圆的面积最大值为. 【解析】解：（1）设动点，则， 由，则，， ∵，∴， ∴， 化简得：. ∴所求曲线的方程为. （2）设，，不妨令，， 设的内切圆半径为，则的周长为， ， 由此可知，当的面积最大时，的内切圆面积最大， 可设直线的方程为， 联立，得：， ∴，则， 令，则， ∴， 令，则， 当时，恒成立，则在上单调递增， ∴，即的最小值为4. ∴，即当时，的面积最大为3， 此时，的内切圆的最大半径为， 所以，的内切圆的面积取得最大值为. 故直线的方程为，的内切圆的面积最大值为. 2．已知圆：和点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线和相交于点，的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程； （2）点是曲线与轴正半轴的交点，直线交于､两点，直线，的斜率分别是，，若，求面积的最大值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）圆：的圆心为，半径为，点 的垂直平分交于点∴ 在圆内，， 所以曲线是，为焦点，长轴长为的椭圆， 由，，得，所以曲线的方程为. （2）①设，，直线：，联立方程组得 ， 由，解得，，， 由知 ， 且，代入化简得，解得， ②(当且仅当时取等号). 综上，面积的最大值为. 3．已知椭圆的左､右焦点分别为，，且，设是上一点，且，. （1）求椭圆的方程； （2）若不与轴垂直的直线过点，交椭圆于，两点，试判断在轴的负半轴上是否存在一点，使得直线与斜率之积为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）；（2）存在，定点. 【解析】（1）设椭圆的焦距为，则，可得， 由椭圆的定义，得，可得， 所以，即， 又由和，解得，， 所以椭圆的方程为. （2）由已知直线过点，设的方程为， 联立方程组，消去并整理得， 设，，则， 所以， . 又直线与斜率分别为，， 则. 因为，所以当时，，. 所以在负半轴上存在定点，使得直线与斜率之积为定值. 4．如图所示，在平面直角坐标系中，已知点为椭圆的上顶点.椭圆以椭圆的长轴为短轴，且与椭圆有相同的离心率. （1）求椭圆的标准方程； （2）过点作斜率分别为的两条直线，直线与椭圆分别交于点，直线与椭圆分别交于点. （i）当时，求点的纵坐标； （ii）若两点关于坐标原点对称，求证：为定值. 【答案】（1）；（2）（i）点A的纵坐标：；（ii）证明见解析. 【解析】（1）设椭圆的方程为 由题意可知，解得， 椭圆的标准方程为； （2）(i)由得； 由得； 由知，，解得 故； (ii)设直线的方程为，同理可得，由两点关于坐标原点对称知 ，即，即； 由相似三角形的性质可知 同理， 所以. 5．已知椭圆：，圆：的圆心在椭圆上，点到椭圆的右焦点的距离为2． （1）求椭圆的方程； （2）过点作直线交椭圆于，两点，若，求直线的方