专题07 空间向量与立体几何-【备战高考】2021年高三数学高考复习刷题宝典（压轴题专练）

专题7空间向量与立体几何 1．已知梯形中，，，，，分别是，上的点，，，沿将梯形翻折，使平面平面（如图）． （1）当时，①证明：平面；②求二面角的余弦值； （2）三棱锥的体积是否可能等于几何体体积的？并说明理由． 2．如图，在四棱锥 中，平面，底面为菱形，且，为的中点. （1）证明：平面； （2）若，，求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 3．如图，在四棱锥中，平面，，四边形满足，∥且，点为中点. （1）求证：平面； （2）若点为边上的动点，且，是否存在实数，使得二面角的余弦值为？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由. 4．如图，在多面体中，平面与平面垂直，是正方形，在直角梯形中，，，且，为线段的中点. （1）求证：平面； （2）求证：平面； （3）求三棱锥的体积. 5．如图，已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，，，是线段的中点． （1）求证：平面； （2）若，求二面角的大小； （3）若线段上总存在一点，使得，求的最大值． 6．如图，已知菱形和矩形所在的平面互相垂直，，. (1)求直线与平面的夹角； (2)求点到平面的距离. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 $$ 专题7空间向量与立体几何 1．已知梯形中，，，，，分别是，上的点，，，沿将梯形翻折，使平面平面（如图）． （1）当时，①证明：平面；②求二面角的余弦值； （2）三棱锥的体积是否可能等于几何体体积的？并说明理由． 【答案】（1）①见解析，②；（2）当时，三棱锥的体积等于几何体体积的. 【解析】（1）①在直角梯形中，因为，故， 因为，故. 所以在折叠后的几何体中，有， 而，故平面. ②如图，在平面中，过作且交于. 在平面中，过作且交于，连接. 因为平面平面，平面平面， 平面，故平面， 因为平面，故，而， 故平面，又平面，故， 所以为二面角的平面角， 在平面中，因为，故， 又在直角梯形中，且， 故，故四边形为平行四边形， 故， 在直角三角形中，，因为三角形内角， 故，故， 故，因为三角形内角，故. 所以二面角的平面角的余弦值为. （2）若三棱锥的体积等于几何体体积的， 则即. 由（1）的证明可知，平面， 同理可证平面，. 故，其中为直角梯形的面积. 而， 在直角梯形中，过作的垂线，与分别交于， 则，故，所以， 所以. 所以. 又， 故，所以， 解得， 故当时，三棱锥的体积等于几何体体积的. 2．如图，在四棱锥 中，平面，底面为菱形，且，为的中点. （1）证明：平面； （2）若，，求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】（1）连接AC，因为底面ABCD为菱形，且∠ABC＝60°，所以△ABC为正三角形， 因为E为BC的中点，所以BC⊥AE，又因为AP⊥平面PBC，BC⊂平面PBC， 所以BC⊥AP，因为AP∩AE＝A，AP，AE⊂平面PAE，所以BC⊥平面PAE； （2）因为AP⊥平面PBC，PB⊂平面PBC，所以AP⊥PB，又因为AB＝2，PA＝1，所以PB＝， 由（1）得BC⊥PE，又因为E为BC中点，所以PB＝PC＝，EC＝1，所以PE＝， 如图，过点P作BC的平行线PQ，则PQ，PE，PA两两互相垂直， 以P为坐标原点，的方向分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则P（0，0，0），A（0，0，1），B（，﹣1，0），C（，1，0），D（0，2，1）， 设平面BAP的一个法向量＝（x，y，z），又＝（0，0，1），＝（，﹣1，0）， 由，得x﹣y＝0，z＝0，令x＝1，则＝（1，，0）， 设平面CDP的一个法向量＝（a，b，c），又＝（，1，0），＝（0，2，1）， 由，得a+b＝0，2y+z＝0，令a＝1，则＝（1，﹣，2）， 所以，即平面ABP与平面CDP所成锐二面角的余弦值为． 3．如图，在四棱锥中，平面，，四边形满足，∥且，点为中点. （1）求证：平面； （2）若点为边上的动点，且，是否存在实数，使得二面角的余弦值为？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）见解析;（2）存在符合条件的.或. 【解析】（1）取中点，连结，易得四边形为平行四边形，进而得到平面，有⊥，又⊥，可得⊥平面. 由，∴⊥平面 （2）以为原点，方向为轴的正方向，方向为轴的正方向， 方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面的法向量和平面的法向量，利用向量法能求出λ的值． 试题解析： （1）如图，取中点，连结. ∵是中点， ∴∥，＝＝2. 又∵∥，， ∴∥，， ∴四边形为平行四边形． ∵⊥，⊥，， ∴平面. ∵平面，∴⊥，∴⊥. ∵，∴⊥，