专题02 函数与导数-【备战高考】2021年高三数学高考复习刷题宝典（压轴题专练）

专题2函数与导数 1．已知函数，. （1）判断函数在上的单调性； （2）若在上恒成立，求整数m的最大值. （3）求证：(其中e为自然对数的底数). 【答案】（1）函数在上为减函数；（2）最大值为3；（3）证明见解析. 【解析】解：（1）因为，所以， 又因为，所以，， 所以， 即函数在上为减函数. （2）由在上恒成立，即在上恒成立， 即， 设， 所以，，令， 则，即在为增函数， 又，， 即存在唯一的实数根a，满足，且，， 当时，，，当时，，， 即函数在为减函数，在为增函数， 则， 故整数m的最大值为3. （3）由（2）知，，， 令，则， ， 故. 2．． （1）若，讨论的单调性 （2），，求实数的取值范围． 【答案】（1）在上递减；（2）. 【解析】解：（1）时，， ， 令，则， 当，；当，； ∴在递增，在上递减，∴， ∴，∴在上递减． （2）（隐零点代换） ， 由，，∴可得， 令，则在上递增， 由，且当时，， ∴， ∴使得， 且当时，即； 当时，即， ∴在递减，在递增， ∴， 由，∴， 由得即， 由得，∴， 设，则， 可知在上递增∴， ∴，∴， 综上． 3．已知函数，为的导数．证明：有且仅有个零点． 【答案】证明见解析 【解析】函数的定义域为，. （i）当时，在单调递增，而， 所以当时，，故在单调递减， 又，从而是在的唯一零点； （ii）当时，，在区间上单调递减， ，， 所以，存在，使得. 当时，，单调递增； 当时，，单调递减. 而，，， 所以存在，使得， 当时，；当时，. 故在单调递增，在单调递减. 又，，所以当时，. 从而在没有零点； （iii）当时，，所以在单调递减. 而，，所以在有唯一零点； （iv）当时，，所以，从而在没有零点. 综上，有且仅有个零点. 4．已知函数，. （1）讨论函数的单调性； （2）若不等式对任意恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）答案见解析；（2）. 【解析】（1），定义域为. ， ①即时，在上递减，在上递增， ②即，在和上递增，在上递减， ③即时，在上递增. ④即时，在和上递增，在上递减， （2）设，则， 设，则，，， 在上递增，的值域为， ①当时，，为上的增函数，，适合条件. ②当时，，不适合条件. ③当时，对于，， 令，， 存在，使得时，， 在上单调递减，， 即在时，，不适合条件.综上，的取值范围为. 5．已知函数. （1）求函数的极小值； （2）关于的不等式在上存在解，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）因为，所以，. 当时，；当时，. 故在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的极小值为； （2）由得， 令，由在有解知，， ， 令，则. 当时，；当时，. 所以，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以，函数在区间上单调递增， ，， 所以，，使得，即， 且当时，，，此时函数单调递减，则； 当时，，，此时函数单调递增，则. 所以，当时，，则. 综上所述，实数的取值范围是. 6．已知函数. （1）若关于的不等式的解集为，求实数的值； （2）设，若不等式对都成立，求实数的取值范围； （3）若且时，求函数的零点. 【答案】（1），．（2）（3）见解析 【解析】（1）因为不等式的解集为，所以-3,1为方程的两个根， 由根与系数的关系得 ，即，． （2）当时，， 因为不等式对都成立， 所以不等式对任意实数都成立． 令， 所以． 当时，， 所以，即，得或， 所以实数的取值范围为． （3）当时，， 函数的图像是开口向上且对称轴为的抛物线， ． ①当，即时，恒成立，函数无零点． ②当，即或时， （ⅰ）当时，，此时函数无零点． （ⅱ）当时，，此时函数有零点3． ③当，即或时，令，得 ， ． （ⅰ）当时，得，此时， 所以当时，函数无零点． （ⅱ）当时，得，此时，所以当时，函数有两个零点：，． 综上所述：当，时，函数无零点； 当，时，函数有一个零点为3； 当，时，函数有两个零点：，． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 $$ 专题2函数与导数 1．已知函数，. （1）判断函数在上的单调性； （2）若在上恒成立，求整数m的最大值. （3）求证：(其中e为自然对数的底数). 【答案】（1）函数在上为减函数；（2）最大值为3；（3）证明见解析. 【解析】解：（1）因为，所以， 又因为，所以，， 所以， 即函数在上为减函数. （2）由在上恒成立，即在上恒成立， 即， 设， 所以，，令， 则，即在为增函数， 又，， 即存在唯一的实数根a，满足，且，， 当时，，，当时，，， 即函数在为减函数，在为增函数， 则， 故整数m的最大值为3. （3）由（2）知，，， 令，则， ， 故. 2．． （1）若，讨论的单调性 （2），，求实数的取值范围． 【答案】（1）在上递减；（2）. 【解析