专题01 集合与常用逻辑用语-【备战高考】2021年高三数学高考复习刷题宝典（压轴题专练）

专题1集合与常用逻辑用语 1．已知集合中的元素都是正整数，且，集合具有性质：对任意的，且，都有. （1）判断集合是否具有性质； （2）求证：； （3）求集合中元素个数的最大值，并说明理由. 2．已知集合为非空数集，定义，． （1）若集合，直接写出集合及； （2）若集合，，且，求证； （3）若集，且，求集合中元素的个数的最大值． 3．给定的正整数，若集合满足，则称为集合的元“好集”. （1）写出一个实数集的元“好集”； （2）证明：不存在自然数集的元“好集”； （3）是否在自然数集的元“好集”? 若存在，请求出所有自然数集的元“好集”；若不存在，请说明理由. 4．设实数，若满足，则称a比b更接近m. （1）若比更接近0，求实数的取值范围； （2）判断“”是“x比y更接近m”的什么条件？并说明理由. 5．如果实系数、、和、、都是非零常数． （1）设不等式和的解集分别是、，试问是的什么条件？并说明理由． （2）在实数集中，方程和的解集分别为和，试问是的什么条件？并说明理由． （3）在复数集中，方程和的解集分别为和，证明：是的充要条件． 6．已知集合，，，将的所有子集任意排列，得到一个有序集合组，其中.记集合中元素的个数为，，，规定空集中元素的个数为. 当时，求的值； 利用数学归纳法证明：不论为何值，总存在有序集合组，满足任意，，都有. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 $$ 专题1集合与常用逻辑用语 1．已知集合中的元素都是正整数，且，集合具有性质：对任意的，且，都有. （1）判断集合是否具有性质； （2）求证：； （3）求集合中元素个数的最大值，并说明理由. 【答案】（1）具有性质；（2）证明见解析；（3）集合中元素个数的最大值是. 【解析】（1），，， ，，， 因为由上述式子可知集合满足， 所以集合具有性质. （2）由题意可得且， 则，即， 故，即. （3）因为集合中的元素都是正整数，所以， 因为，所以，， 同理可得，则， 因为，所以，，当都成立， 当时，令，则，不成立； 当时，，当且仅当时等号成立， 此时恒成立， 综上所述，，集合中元素个数的最大值为. 2．已知集合为非空数集，定义，． （1）若集合，直接写出集合及； （2）若集合，，且，求证； （3）若集，且，求集合中元素的个数的最大值． 【答案】（1），；（2）证明见解析；（3）1347． 【解析】（1）根据题意，由，则，； （2）由于集合，，且， 所以中也只包含四个元素，即， 剩下的，所以； （3）设满足题意，其中， 则， ∴，， ∴， ∵，由容斥原理， 中最小的元素为0，最大的元素为， ∴， ∴， ∴， 实际上当时满足题意，证明如下： 设， 则，， 依题意有，即， 故的最小值为674，于是当时，中元素最多， 即时满足题意， 综上所述，集合中元素的个数的最大值是1347． 3．给定的正整数，若集合满足，则称为集合的元“好集”. （1）写出一个实数集的元“好集”； （2）证明：不存在自然数集的元“好集”； （3）是否在自然数集的元“好集”? 若存在，请求出所有自然数集的元“好集”；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）答案不唯一，具体见解析；（2）证明见解析；（3）存在，且自然数集的元“好集”只有一个，且为. 【解析】（1），则为实数集的一个元“好集”； （2）设是自然数集上的一个元“好集”，不妨设. ①若，则，则显然不成立； ②若，由可得，， 、且，，，所以不成立. 综上所述，不存在自然数集的元“好集”； （3）设是自然数集上的元“好集”，不妨设. ①若，则显然不成立； ②若，则，可得， 满足的正整数只能是，，代入可解得. 因此，自然数集上的所有元“好集”为. 4．设实数，若满足，则称a比b更接近m. （1）若比更接近0，求实数的取值范围； （2）判断“”是“x比y更接近m”的什么条件？并说明理由. 【答案】（1）；（2）充分非必要条件，理由见解析. 【解析】（1）由题意可知，即，解得：，则实数的取值范围是. （2）①由题意可知. 1）若，则，显然必有 那么，若，则显然，满足, 若，则必有，满足 2）同理若，则，显然必有 那么，，则显然，满足,若，则必有，满足 是“x比y更接近m”的充分条件, ②x比y更接近m，则，或, 显然存在成立. " x比y更接近m "不是的必要条件 综上是"x比y更接近m"的充分非必要条件. 5．如果实系数、、和、、都是非零常数． （1）设不等式和的解集分别是、，试问是的什么条件？并说明理由． （2）在实数集中，方程和的解集分别为和，试问是的什么条件？并说明理由． （3）在复数集中，方程和的解集分别为和，证明：是的充要条件． 【答案】（1）既不充分也不必要条件；（2）充分不必要条件；（3）充见解析. 【解析】（1）若，，则，