专题18 三角函数2-2021届高考数学（理）二轮专题重难点题型突破

三角函数专练(二) △ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知向量m＝(cosA，eq \r(3)sinA)，n＝(2cosA，－2cosA)，m·n＝－1. (1)若a＝2eq \r(3)，c＝2，求△ABC的面积； (2)求eq \f(b－2c,acos（\f(π,3)＋C）)的值． 【答案】　(1)因为m·n＝2cos2A－eq \r(3)sin2A＝cos2A－eq \r(3)sin2A＋1＝2cos(2A＋eq \f(π,3))＋1＝－1，所以cos(2A＋eq \f(π,3))＝－1.又eq \f(π,3)<2A＋eq \f(π,3)<2π＋eq \f(π,3)，所以2A＋eq \f(π,3)＝π，A＝eq \f(π,3).由12＝4＋b2－2×2×b×coseq \f(π,3)，得b＝4(舍负值)．所以△ABC的面积为eq \f(1,2)×2×4×sineq \f(π,3)＝2eq \r(3). (2)eq \f(b－2c,acos（\f(π,3)＋C）)＝eq \f(sinB－2sinC,sinAcos（\f(π,3)＋C）)＝eq \f(sin（A＋C）－2sinC,\f(\r(3),2)cos（\f(π,3)＋C）) ＝eq \f(\f(\r(3),2)cosC－\f(3,2)sinC,\f(\r(3),2)cos（\f(π,3)＋C）)＝eq \f(\r(3)cos（\f(π,3)＋C）,\f(\r(3),2)cos（\f(π,3)＋C）)＝2. 2．在△ABC中，B＝eq \f(π,3)，点D在边AB上，BD＝1，且DA＝DC. (1)若△BCD的面积为eq \r(3)，求CD； (2)若AC＝eq \r(3)，求∠DCA. 【答案】　(1)因为S△BCD＝eq \r(3)，即eq \f(1,2)BC·BD· sinB＝eq \r(3)， 又B＝eq \f(π,3)，BD＝1，所以BC＝4. 在△BDC中，由余弦定理得，CD2＝BC2＋BD2－2BC·BD·cosB， 即CD2＝16＋1－2×4×1×eq \f(1,2)＝13，解得CD＝eq \r(13). (2)在△ACD中，DA＝DC，可设∠A＝∠DCA＝θ，则∠ADC＝π－2θ，又AC＝eq \r(3)，由正弦定理，有eq \f(AC,sin2θ)＝eq \f(CD,sinθ) 所以CD＝eq \f(\r(3),2cosθ). 在△BDC中，∠BDC＝2θ，∠BCD＝eq \f(2π,3)－2θ， 由正弦定理得，eq \f(CD,sinB)＝eq \f(BD,sin∠BCD)，即eq \f(\f(\r(3),2cosθ),sin\f(π,3))＝eq \f(1,sin（\f(2π,3)－2θ）)， 化简得cosθ＝sin(eq \f(2π,3)－2θ)， 于是sin(eq \f(π,2)－θ)＝sin(eq \f(2π,3)－2θ)． 因为0<θ<eq \f(π,2)，所以0<eq \f(π,2)－θ<eq \f(π,2)，－eq \f(π,3)<eq \f(2π,3)－2θ<eq \f(2π,3)， 所以eq \f(π,2)－θ＝eq \f(2π,3)－2θ或eq \f(π,2)－θ＋eq \f(2π,3)－2θ＝π， 解得θ＝eq \f(π,6)或θ＝eq \f(π,18)，故∠DCA＝eq \f(π,6)或∠DCA＝eq \f(π,18). 3．设△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且(a2＋b2－c2)sinA＝ab(sinC＋2sinB)，a＝1. (1)求角A的大小； (2)求△ABC的周长的取值范围． 【答案】　(1)由(a2＋b2－c2)sinA＝ab(sinC＋2sinB)，结合余弦定理可得2abcosCsinA＝ab(sinC＋2sinB)， 即2cosCsinA＝sinC＋2sin(A＋C)，化简得sinC(1＋2cosA)＝0. 因为sinC≠0，所以cosA＝－eq \f(1,2)， 又A∈(0，π)，所以A＝eq \f(2π,3). (2)因为A＝eq \f(2π,3)，a＝1，由正弦定理可得 b＝eq \f(asinB,sinA)＝eq \f(2\r(3),3)sinB，c＝eq \f(2\r(3),3)sinC， 所以△ABC的周长l＝a＋b＋c＝1＋eq \f(2\r(3),3)sinB＋eq \f(2\r(3),3)sinC＝1＋eq \f(2\r(3),3)[sinB＋sin(eq \f(π,3)－B)]＝1＋eq \f(2\r(3),3)(eq \f(1,2)sinB＋eq \f(\r(3),2)cosB)＝1＋eq \f(2\r(3),3)sin(B＋eq \f(π,3))．