专题17 三角函数1-2021届高考数学（理）二轮专题重难点题型突破

17：三角函数1· 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b＋c＝2acosB. (1)证明：A＝2B； (2)若△ABC的面积S＝eq \f(a2,4)，求角A的大小． 【答案】　(1)由正弦定理得 sinB＋sinC＝2sinAcosB， 故2sinAcosB＝sinB＋sin(A＋B)＝sinB＋sinAcosB＋cosAsinB，于是sinB＝sin(A－B)． 又A，B∈(0，π)，故0<A－B<π， 所以B＝π－(A－B)或B＝A－B. 因此A＝π(舍去)或A＝2B. 所以A＝2B. (2)由S＝eq \f(a2,4)得eq \f(1,2)absinC＝eq \f(a2,4)，故有 sinBsinC＝eq \f(1,2)sin2B＝sinBcosB， 因为sinB≠0，所以sinC＝cosB. 又B，C∈(0，π)，所以C＝eq \f(π,2)±B. 当B＋C＝eq \f(π,2)时，A＝eq \f(π,2)；当C－B＝eq \f(π,2)时，A＝eq \f(π,4)； 综上，A＝eq \f(π,2)或A＝eq \f(π,4). 2．已知f(x)＝2coseq \f(x,2)·(eq \r(3)sineq \f(x,2)＋coseq \f(x,2))－1，x∈R. (1)求f(x)的最小正周期； (2)设α，β∈(0，eq \f(π,2))，f(α)＝2，f(β)＝eq \f(8,5)，求f(α＋β)的值． 【答案】　(1)f(x)＝eq \r(3)sinx＋cosx＝2sin(x＋eq \f(π,6))， f(x)的最小正周期T＝2π. (2)∵2sin(α＋eq \f(π,6))＝2，sin(α＋eq \f(π,6))＝1，eq \f(π,6)<α＋eq \f(π,6)<eq \f(2π,3)， ∴α＋eq \f(π,6)＝eq \f(π,2)，α＝eq \f(π,3). ∵2sin(β＋eq \f(π,6))＝eq \f(8,5)，sin(β＋eq \f(π,6))＝eq \f(4,5)，eq \f(π,6)<β＋eq \f(π,6)<eq \f(2π,3)， 又∵eq \f(4,5)<eq \f(\r(3),2)，∴eq \f(π,6)<β＋eq \f(π,6)<eq \f(π,3)，cos(β＋eq \f(π,6))＝eq \f(3,5). ∴f(α＋β)＝2sin(α＋β＋eq \f(π,6))＝2sin(eq \f(π,2)＋β)＝2cosβ ＝2cos[(β＋eq \f(π,6))－eq \f(π,6)] ＝2cos(β＋eq \f(π,6))coseq \f(π,6)＋2sin(β＋eq \f(π,6))sineq \f(π,6)＝eq \f(3\r(3)＋4,5). 3.已知函数f(x)＝eq \r(3)sinωxcosωx＋cos2ωx－eq \f(3,2)(ω>0)，其最小正周期为eq \f(π,2) (1)求f(x)的【答案】式； (2)将函数f(x)的图像向右平移eq \f(π,8)个单位，再将图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y＝g(x)的图像，若关于x的方程g(x)＋k＝0在区间[0，eq \f(π,2)]上有且只有两个实数解，求实数k的取值范围 【答案】　(1)f(x)＝eq \r(3)sinωxcosωx＋cos2ωx－eq \f(3,2) ＝eq \f(\r(3),2)sin2ωx＋eq \f(cos2ωx＋1,2)－eq \f(3,2)＝sin(2ωx＋eq \f(π,6))－1， 由题意知f(x)的最小正周期T＝eq \f(π,2)，T＝eq \f(2π,2ω)＝eq \f(π,ω)＝eq \f(π,2)， 所以ω＝2，所以f(x)＝sin(4x＋eq \f(π,6))－1. (2)将f(x)的图像向右平移eq \f(π,8)个单位后，得到y＝sin(4x－eq \f(π,3))－1的图像，再将所得图像所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到y＝sin(2x－eq \f(π,3))－1的图像，所以g(x)＝sin(2x－eq \f(π,3))－1. 因为0≤x≤eq \f(π,2)，所以－eq \f(π,3)≤2x－eq \f(π,3)≤eq \f(2π,3). g(x)＋k＝0在区间[0，eq \f(π,2)]上有且只有两个实数解，即函数y＝g(x)与y＝－k的图像在区间[0，eq \f(π,2)]上有且只有两个交点，由正弦函数的图像可知eq \f(\r(3),2)－1≤－k<1－1，所以0<k≤1－eq \f(\r(3),2). 4．已知函数f(x)＝2sin2(x－eq \f(π,4))＋eq \r(3)cos2