专题16 平面解析几何-2021届高考数学（理）二轮专题重难点题型突破

16：平面解析几何 一、选择题 1．若直线l：ax＋by＋1＝0始终平分圆M：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0的周长，则(a－2)2＋(b－2)2的最小值为(　　) A.eq \r(5)　　　　　　　　　 B．5 C．2eq \r(5) D．10 【答案】　B 【解析】　由题意，知圆心M的坐标为(－2，－1)，所以－2a－b＋1＝0.因为(a－2)2＋(b－2)2表示点(a，b)与(2，2)的距离的平方，而eq \r(（a－2）2＋（b－2）2)的最小值为eq \f(|4＋2－1|,\r(4＋1))＝eq \r(5)，所以(a－2)2＋(b－2)2的最小值为5. 2．已知直线y＝kx＋3与圆x2＋(y＋3)2＝16相交于A，B两点，则“k＝2eq \r(2)”是“|AB|＝4eq \r(3)”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】　A 【解析】　易得圆心为(0，－3)，半径为4，圆心(0，－3)到直线y＝kx＋3的距离d＝eq \f(|3＋3|,\r(1＋k2))＝eq \f(6,\r(1＋k2))，弦长的一半为eq \f(|AB|,2)＝2eq \r(3)，故d＝eq \r(42－12)＝2＝eq \f(6,\r(1＋k2))，解得k2＝8，可得k＝2eq \r(2)或k＝－2eq \r(2)，故“k＝2eq \r(2)”是“|AB|＝4eq \r(3)”的充分不必要条件，故选A. 3．已知点A，B分别为双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右顶点，点P为双曲线C上异于A，B的另外一点，且△ABP是顶角为120°的等腰三角形，则该双曲线的渐近线方程为(　　) A.eq \r(3)x±y＝0 B．x±eq \r(3)y＝0 C．x±y＝0 D.eq \r(2)x±y＝0 【答案】　C 【解析】　依题意，不妨设点P在双曲线的右支上，且∠ABP＝120°，过点P作PP′垂直于x轴并交x轴于P′，故|BP|＝|AB|＝2|BP′|＝2a，故在直角三角形BPP′中，P(2a，eq \r(3)a)，代入双曲线的方程中整理得eq \f(b2,a2)＝1，即eq \f(b,a)＝1，即双曲线的渐近线方程为y＝±x. 4．已知F1，F2是双曲线E：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1的左、右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1＝eq \f(1,3)，则E的离心率为(　　) A.eq \r(2) B.eq \f(3,2) C.eq \r(3) D．2 【答案】　A 【解析】　设F1(－c，0)，将x＝－c代入双曲线方程，得eq \f(c2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1，所以eq \f(y2,b2)＝eq \f(c2,a2)－1＝eq \f(b2,a2)，所以y＝±eq \f(b2,a).因为sin∠MF2F1＝eq \f(1,3)，所以tan∠MF2F1＝eq \f(|MF1|,|F1F2|)＝eq \f(\f(b2,a),2c)＝eq \f(b2,2ac)＝eq \f(1,2\r(2))，eq \f(c2－a2,ac)＝eq \f(1,\r(2))，e2－1＝eq \f(\r(2),2)e，解得e＝eq \r(2).选A. 5．过点P(－2，0)的直线与抛物线C：y2＝4x相交于A、B两点，且|PA|＝eq \f(1,2)|AB|，则点A到抛物线C的焦点的距离为(　　) A.eq \f(5,3) B.eq \f(7,5) C.eq \f(9,7) D．2【答案】　A 【解析】　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，分别过A、B作直线x＝－1的垂线，垂足分别为D、E， ∵|PA|＝eq \f(1,2)|AB|，∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3（x1＋2）＝x2＋2，,3y1＝y2))又eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y12＝4x1，,y22＝4x2))得x1＝eq \f(2,3)，则点A到抛物线C的焦点的距离为1＋eq \f(2,3)＝eq \f(5,3). 6．已知圆C：x2＋y2－2x＝3，过原点且互相垂直的两直线分别交圆C于点D，E，F，G，则四边形DFEG面积的最大值为(　　) A．4eq \r(3) B．7 C．5eq \r(2) D．8 【答案】　B 【解析】　如图，C：x2＋y2－2x＝3⇒(x－1)2＋y2＝4，则圆心C(1，0)，r＝2，因|DE|＝2eq \r(r2－d12)＝2eq \r(4－d12)，|FG|＝2eq \r(r2－d22)＝2eq \r(4－d22)，又d12＋d22