专题15 立体几何-2021届高考数学（理）二轮专题重难点题型突破

15：立体几何 一、选择题 1．如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为(　　) A．20π　　　　　　　　　　 B．24π C．28π D．32π 【答案】　C 【解析】　该几何体是圆锥与圆柱的组合体，由三视图可知圆柱底面圆的半径r＝2，底面圆的周长c＝2πr＝4π，圆锥的母线长l＝eq \r(22＋（2\r(3)）2)＝4，圆柱的高h＝4，所以该几何体的表面积S表＝πr2＋ch＋eq \f(1,2)cl＝4π＋16π＋8π＝28π，故选C. 2．已知互相垂直的平面α，β交于直线l，若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则(　　) A．m∥l B．m∥n C．n⊥l D．m⊥n 【答案】　C 【解析】　因为α∩β＝l，所以l⊂β，又n⊥β所以n⊥l.故选C. 3．在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝60°，AB＝AC＝2eq \r(3)，PA＝2，则三棱锥P－ABC外接球的表面积为(　　) A．20π B．24π C．28π D．32π 【答案】　A 【解析】　由题意可得△ABC是边长为2eq \r(3)的正三角形，设其外接圆的半径为r，则2r＝eq \f(2\r(3),sin60°)＝4，r＝2.又外接球的球心在PA的中垂面上，则外接球的半径R＝eq \r(r2＋（\f(1,2)PA）2)＝eq \r(5)，所以该球的表面积为4πR2＝4π(eq \r(5))2＝20π，选项A正确． 4.如图，点E，F分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB，AA1的中点，点M，N分别是线段D1E与C1F上的点，则与平面ABCD垂直的直线MN的条数有(　　) A．0个 B．1个 C．2个 D．无穷多个 【答案】　B 【解析】　假设存在满足条件的直线MN，如图，建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为2，则D1(2，0，2)，E(1，2，0)，设M的坐标为(x，y，z)，∵eq \o(D1M,\s\up10(→))＝meq \o(D1E,\s\up10(→))(0<m<1)，∴(x－2，y，z－2)＝m(－1，2，－2)，x＝2－m，y＝2m，z＝2－2m.∴M(2－m，2m，2－2m)． 同理，若设eq \o(C1N,\s\up10(→))＝neq \o(C1F,\s\up10(→))(0<n<1)，可得N(2n，2n，2－n)， eq \o(MN,\s\up10(→))＝(m＋2n－2，2n－2m，2m－n)． 又∵MN⊥平面ABCD，∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\o(CD,\s\up10(→))·\o(MN,\s\up10(→))＝0，,\o(CB,\s\up10(→))·\o(MN,\s\up10(→))＝0，))即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＋2n－2＝0，,2n－2m＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝\f(2,3)，,n＝\f(2,3)，)) 即存在满足条件的直线MN，且只有1条． 5．一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示．则该几何体的体积为(　　) A.eq \f(1,3)＋eq \f(2,3)π B.eq \f(1,3)＋eq \f(\r(2),3)π C.eq \f(1,3)＋eq \f(\r(2),6)π D．1＋eq \f(\r(2),6)π 【答案】　C 【解析】　由三视图可知，四棱锥的底面是边长为1的正方形，高为1，其体积V1＝eq \f(1,3)×12×1＝eq \f(1,3).设半球的半径为R，则2R＝eq \r(2)，即R＝eq \f(\r(2),2)，所以半球的体积V2＝eq \f(1,2)×eq \f(4π,3)R3＝eq \f(1,2)×eq \f(4π,3)×(eq \f(\r(2),2))3＝eq \f(\r(2),6)π.故该几何体的体积V＝V1＋V2＝eq \f(1,3)＋eq \f(\r(2),6)π.故选C. 6．已知α，β是两个不同的平面，有下列三个条件： ①存在一个平面γ，γ⊥α，γ∥β； ②存在一条直线a，a⊥β； ③存在两条垂直的直线a，b，a⊥β，b⊥α. 其中，所有能成为“α⊥β”的充要条件的序号是(　　) A．① B．② C．③ D．①③ 【答案】　D 【解析】　对于①，存在一个平面γ，γ⊥α，γ∥β，则α⊥β，反之也对，即“存在一个平面γ，γ⊥α，γ∥β”是“α⊥β”的充要条件，所以①对，可排除B，C；对于③，存在两条垂直的直线a，b，则直线a，b所成的角为90°，因为a⊥β，b⊥α，所以α，β所在的角为90°，即α⊥β，反之也对，即“存在两条垂直的直线，a，b，a⊥β，b⊥α”是“α⊥β”的充要条件，所以