专题14 数列-2021届高考数学（理）二轮专题重难点题型突破

14：数列 一、选择题 1．等差数列{an}的前n项和为Sn，若S11＝22，则a3＋a7＋a8＝(　　) A．18　　　　　　　　　 B．12 C．9 D．6 【答案】　D 【解析】　由题意得S11＝eq \f(11（a1＋a11）,2)＝eq \f(11（2a1＋10d）,2)＝22，即a1＋5d＝2，所以a3＋a7＋a8＝a1＋2d＋a1＋6d＋a1＋7d＝3(a1＋5d)＝6，故选D. 2．古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上题的已知条件，若要使织布的总尺数不少于30，该女子所需的天数至少为(　　) A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】　B 【解析】　设该女子第一天织布x尺，则eq \f(x（1－25）,1－2)＝5，得x＝eq \f(5,31)，∴前n天所织布的尺数为eq \f(5,31)(2n－1)．由eq \f(5,31)(2n－1)≥30，得2n≥187，则n的最小值为8. 3．各项均为正数的等差数列{an}中，a4a9＝36，则前12项和S12的最小值为(　　) A．78 B．48 C．60 D．72 【答案】　D 【解析】　S12＝6(a1＋a12)＝6(a4＋a9)≥6×2eq \r(a4a9)＝72，当且仅当a4＝a9＝6时等号成立． 4．定义“规范01数列”{an}如下：{an}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k≤2m，a1，a2，…，ak中0的个数不少于1的个数．若m＝4，则不同的“规范01数列”共有(　　) A．18个 B．16个 C．14个 D．12个 【答案】　C 【解析】　由题意可得a1＝0，a8＝1，a2，a3，…，a7中有3个0、3个1，且满足对任意k≤8，都有a1，a2，…，ak中0的个数不少于1的个数，利用列举法可得不同的“规范01数列”有00001111，00010111，00011011，00011101，00100111，00101011，00101101，00110011，00110101，01000111，01001011，01001101，01010011，01010101，共14个． 5．已知an＝logn＋1(n＋2)(n∈N*)，观察下列算式：a1·a2＝log23·log34＝eq \f(lg3,lg2)·eq \f(lg4,lg3)＝2；a1·a2·a3·a4·a5·a6＝log23·log34·…·log78＝eq \f(lg3,lg2)·eq \f(lg4,lg3)·…·eq \f(lg8,lg7)＝3，…；若a1·a2·a3·…·am＝2 016(m∈N*)．则m的值为(　　) A．22 016＋2 B．22 016 C．22 016－2 D．22 016－4 【答案】　C 【解析】　由于a1·a2·a3·…·am＝eq \f(lg3,lg2)·eq \f(lg4,lg3)·eq \f(lg5,lg4)·…·eq \f(lg（m＋2）,lg（m＋1）)＝eq \f(lg（m＋2）,lg2)＝2 016，可得lg(m＋2)＝2 016lg2＝lg22 016，可得m＋2＝22 016，解得m＝22 016－2. 6．如图，点列{An}，{Bn}分别在某锐角的两边上，且|AnAn＋1|＝|An＋1An＋2|，An≠An＋2，n∈N*，|BnBn＋1|＝|Bn＋1Bn＋2|，Bn≠Bn＋2，n∈N*(P≠Q表示点P与Q不重合)．若dn＝|AnBn|，Sn为△AnBnBn＋1的面积，则(　　) A．{Sn}是等差数列 B．{Sn2}是等差数列 C．{dn}是等差数列 D．{dn2}是等差数列 【答案】　A 【解析】　由题意，过点A1，A2，A3，…，An，An＋1，…分别作直线B1Bn＋1的垂线，高分别记为h1，h2，h3，…，hn，hn＋1，…，根据平行线的性质，得h1，h2，h3，…，hn，hn＋1，…成等差数列，又Sn＝eq \f(1,2)×|BnBn＋1|×hn，|BnBn＋1|为定值，所以{Sn}是等差数列．故选A. 7．已知等比数列{an}的各项均为正数且公比大于1，前n项积为Tn，且a2a4＝a3，则使得Tn>1的n的最小值为(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】　C 【解析】　通解：设等比数列{an}的公比为q(q>1)，因为a2a4＝a3，所以a32＝a3，又an>0，所以a3＝1，所以等比数列{an}的前n项积Tn＝a1·a2·a3·a4·…·an＝eq \f(a3,q2)·eq \f(a3,q)·a3