专题13 三角函数-2021届高考数学（理）二轮专题重难点题型突破

13：三角函数 一、选择题 1已知命题p：函数f(x)＝|cosx|的最小正周期为2π；命题q：函数y＝x3＋sinx的图像关于原点对称，则下列命题是真命题的是(　　) A．p∧q　　　　　　　　 B．p∨q C．(綈p)∧(綈q) D．(綈p)∨(綈q) 【答案】　B 【解析】　因为命题p为假，命题q为真，所以p∨q为真命题． 2．已知sin(eq \f(π,6)－α)＝cos(eq \f(π,6)＋α)，则cos2α＝(　　) A．1 B．－1 C.eq \f(1,2) D．0 【答案】　D 【解析】　∵sin(eq \f(π,6)－α)＝cos(eq \f(π,6)＋α)，∴eq \f(1,2)cosα－eq \f(\r(3),2)sinα＝eq \f(\r(3),2)cosα－eq \f(1,2)sinα，即(eq \f(1,2)－eq \f(\r(3),2))sinα＝－(eq \f(1,2)－eq \f(\r(3),2))cosα，∴tanα＝eq \f(sinα,cosα)＝－1，∴cos2α＝cos2α－sin2α＝eq \f(cos2α－sin2α,sin2α＋cos2α)＝eq \f(1－tan2α,tan2α＋1)＝0. 3．已知函数f(x)＝2cos(2x＋φ)(|φ|<eq \f(π,2))的图像向右平移eq \f(π,6)个单位长度后得到的函数图像关于y轴对称，则函数f(x)在[0，eq \f(π,2)]上的最大值与最小值之和为(　　) A．－eq \r(3) B．－1 C．0 D.eq \r(3) 【答案】　B 【解析】　f(x)＝2cos(2x＋φ)(|φ|<eq \f(π,2))的图像向右平移eq \f(π,6)个单位长度后，得到g(x)＝2cos(2x＋φ－eq \f(π,3))的图像，其关于y轴对称，则φ－eq \f(π,3)＝kπ，k∈Z，所以φ＝eq \f(π,3)＋kπ，k∈Z，又|φ|<eq \f(π,2)，所以φ＝eq \f(π,3)，f(x)＝2cos(2x＋eq \f(π,3))．因为x∈[0，eq \f(π,2)]，所以eq \f(π,3)≤2x＋eq \f(π,3)≤eq \f(4π,3)，所以cos(2x＋eq \f(π,3))∈[－1，eq \f(1,2)]，故函数f(x)在[0，eq \f(π,2)]上的最大值为1，最小值为－2，其和为－1.故选B. 4．将函数y＝cos2x的图像向左平移eq \f(π,4)个单位，得到函数y＝f(x)·cosx的图像，则f(x)的表达式可以是(　　) A．f(x)＝－2sinx B．f(x)＝2sinx C．f(x)＝eq \f(\r(2),2)sin2x D．f(x)＝eq \f(\r(2),2)(sin2x＋cos2x) 【答案】　A 【解析】　将函数y＝cos2x的图像向左平移eq \f(π,4)个单位，得到函数y＝cos[2(x＋eq \f(π,4))]＝cos(2x＋eq \f(π,2))＝－sin2x的图像，因为－sin2x＝－2sinxcosx，所以f(x)＝－2sinx. 5．已知sinφ＝eq \f(3,5)，且φ∈(eq \f(π,2)，π)，函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的图像的相邻两条对称轴之间的距离等于eq \f(π,2)，则f(eq \f(π,4))的值为(　　) A．－eq \f(3,5) B．－eq \f(4,5) C.eq \f(3,5) D.eq \f(4,5) 【答案】　B 【解析】　由函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图像的相邻两条对称轴之间的距离等于eq \f(π,2)，得到其最小正周期为π，所以ω＝2，f(eq \f(π,4))＝sin(2×eq \f(π,4)＋φ)＝cosφ＝－eq \r(1－sin2φ)＝－eq \f(4,5). 6．命题“存在φ0∈R，使得函数f(x)＝tan(πx＋φ0)的图像关于点(eq \f(1,2)，0)对称”的否定是(　　) A．存在φ0∈R，使得函数f(x)＝tan(πx＋φ0)的图像都不关于点(eq \f(1,2)，0)对称 B．对任意的φ∈R，函数f(x)＝tan(πx＋φ)的图像都不关于点(eq \f(1,2)，0)对称 C．对任意的φ∈R，函数f(x)＝tan(πx＋φ)的图像都关于点(eq \f(1,2)，0)对称 D．存在φ0∈R，使得函数f(x)＝tan(πx＋φ0)的图像关于点(eq \f(1,2)，0)不对称 【答案】　B 【解析】　所给命题是特称命题，因此其否定一方面要把“特称”改“全称”，另一方面要否定结论，故其否定应该为“对任意的φ∈R，函数f(x)＝tan(πx＋φ)的图像都