第二章 空间向量与立体几何（能力提升）-2020-2021学年高二数学单元测试定心卷（北师大版选修2-1）

第二章 空间向量与立体几何 能力提升卷 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单项选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，下列说法正确的是(　　) A.是平面ABCD的法向量 B.＝ C．〈，〉＝π D.与不是共面向量 2．如图，在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若＝a，＝b，＝c，则下列向量中与相等的向量是(　　) A.a＋b＋c B．－a＋b＋c C.a－b＋c D．－a－b＋c 4．若向量a＝(1,2,0)，b＝(－2,0,1)，则(　　) A．cos〈a，b〉＝ B．a⊥b C．a∥b D．|a|＝|b| 5．若a＝(2x,1,3)，b＝(1，－2y,9)，且a∥b，则(　　) A．x＝1，y＝1 B．x＝，y＝－ C．x＝，y＝－ D．x＝－，y＝ 6．在如图所示的空间直角坐标系中，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为2，E为正方体的棱AA1的中点，F为棱AB上的一点，且∠C1EF＝90°，则点F的坐标为(　　) A. B. C. D. 7．已知平面α内有一点A(2，－1,2)，它的一个法向量为n＝(3,1,2)，则下列点P中，在平面α内的是(　　) A．(1，－1,1) B．(1,3，) C．(1，－3，) D．(－1,3，－) 8．已知正四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于(　　) A. B. C. D. 9．如图所示，已知点P为菱形ABCD所在平面外一点，且PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝AC，点F为PC中点，则平面CBF与平面DBF夹角的正切值为(　　) A. B. C. D. 10．P是二面角α­AB­β棱上的一点，分别在α，β平面内引射线PM，PN，如果∠BPM＝∠BPN＝45°，∠MPN＝60°，那么α与β的夹角大小为(　　) A．60° B．70° C．80° D．90° 11．若正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，则直线A1C1到平面ACD1的距离为(　　) A．1 B. C. D. 12．如图，在棱长为2的正方体ABCD­A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在线段D1E上，点P到直线CC1的距离的最小值为(　　) A. B. C. D. 二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分。） 13．如图，在正四棱台ABCD­A1B1C1D1中，O、O1分别是对角线AC，A1C1的中点，则〈，〉＝0°，〈，〉＝-------，〈，〉＝-------. 14．已知P是棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1内(含正方体表面)任意一点，则·的最大值为--------. 15．如图，已知正三棱柱ABC­A1B1C1的所有棱长都相等，D是A1C1的中点，则直线AD与平面B1DC所成的角的正弦值为-------. 16．正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为a，则平面AB1D1与平面BDC1的距离为-------. 三、解答题：（本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 17．如图所示，在平行六面体ABCD­A′B′C′D′中，AB＝AD＝AA′＝1，∠A′AD＝∠A′AB＝∠BAD＝60°，求： (1)AC′的长；(2)BD′的长． 18.已知空间三点A(1,2,3)，B(2，－1,5)，C(3,2，－5)． (1)求△ABC的面积． (2)求△ABC中AB边上的高． 19．在直三棱柱ABC­A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4. (1)求证：AC⊥BC1； (2)在AB上是否存在点D，使得AC1⊥CD? (3)在AB上是否存在点D，使得AC1∥平面CDB1? 20．已知三棱柱ABC­A1B1C1的各条棱长均为a，侧棱垂直于底面，D是侧棱CC1的中点，问a为何值时，点C到平面AB1D的距离为1. 21.如图，四棱柱ABCD­A1B1C1D1的所有棱长都相等，AC∩BD＝O，A1C1∩B1D1＝O1，四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形． (1)证明：O1O⊥底面ABCD； (2)若∠CBA＝60°，求二面角C1­OB1­D的余弦值． 22．如图，在正四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，AA1＝2，AB＝1，点N是BC的中点，点M在CC1上，设二面角A1­DN­M的大小为θ. (1)当θ＝90°时，求AM的长； (2)当cosθ＝时，求C