湖南师范大学附属中学2020-2021学年高二上学期期末数学试题

湖南师大附中2020－2021学年度高二第一学期期期末考试 数学 时量：120分钟 满分：150分 命题：朱海棠 陆稳 曹菲菲 审题：高二数学备课组 一、单项选择题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设 为常数命题， ，则 为真命题的充要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 2. 已知向量 与 的夹角是 ，且 ， ，若 ，则实数 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 3. 已知 的展开式中各项的二项式系数的和为512，则这个展开式中的常数项为（ ） A. －34 B. －672 C. 84 D. 672 【答案】B 4. 围棋起源于中国，据先秦典籍《世本》记载：“尧造围棋，丹朱善之”，至今已有四千多年历史．围棋不仅能抒发意境、陶冶情操、修身养性、生慧增智，而且还与天象易理、兵法策略、治国安邦等相关联，蕴含着中华文化的丰富内涵．在某次国际围棋比赛中，甲、乙两人进入最后决赛．比赛采取五局三胜制，即先胜三局的一方获得比赛冠军，比赛结束．假设每局比赛甲胜乙的概率都为 ，且各局比赛的胜负互不影响，则在不超过4局的比赛中甲获得冠军的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 5. 已知 第四象限，且 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 6. 已知抛物线 的顶点在坐标原点，焦点 在 轴正半轴上．若点 到双曲线 的一条渐近线的距离为2，则 的标准方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 7. 为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：汽车驾驶员血液中的酒精含量不得超过 ．据仪器监测，某驾驶员喝了二两白酒后，血液中的酒精含量迅速上升到 ，在停止喝酒后，血液中每小时末的酒精含量都比上一个小时末减少25%．那么此人在开车前至少要休息（ ）（参考数据： ， ） A. 4．1小时 B. 4．2小时 C. 4．3小时 D. 4．4小时 【答案】B 8. 在三棱锥P﹣ABC中，平面PBC⊥平面ABC，∠ACB＝90°，BC＝PC＝2，若AC＝PB，则三棱锥P﹣ABC体积的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 二、多项选择题．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 已知复数 ， 为 的共轭复数，则下列结论正确的是（ ） A. 的虚部为 B. C. 为纯虚数 D. 在复平面上对应的点在第四象限 【答案】BCD 10. 已知函数 在一个周期内的图象如图所示，其中图象最高点、最低点的横坐标分别为 、 ，图象在 轴上的截距为 ．则下列结论正确的是（ ） A. 最小正周期为 B. 的最大值为2 C. 在区间 上单调递增 D. 为偶函数 【答案】BC 11. 设抛物线 的焦点为 ，准线为 ，点 为 上一动点， 为定点，则下列结论正确的是（ ） A. 准线 的方程是 B. 的最大值为2 C. 的最小值为5 D. 以线段 为直径的圆与 轴相切 【答案】ACD 12. 已知函数 ，则下列结论正确的是（ ） A. 当 时， 无零点 B. 当 时， 只有一个零点 C. 当 时， 有两个零点 D. 若 有两个零点 ， ，则 【答案】ABD 三、填空题． 13. 已知球 的表面积为 ，点 ， ， 在球 的球面上，且 ， ，则球心 到平面 的距离为________． 【答案】1 14. 当前新冠肺炎疫情形势依然严峻，防控新冠肺炎疫情需常态化．为加大宣传力度，提高防控能力，某县疾控中心拟安排某4名医务人员到流动人口较多的某3个乡镇进行疫情防控督查，每个医务人员只去一个乡镇，每个乡镇至少安排一名医务人员，则不同的安排方法共有___________种． 【答案】36 15. 设双曲线 的右焦点为 ，点 在 的右支上， 为坐标原点，若存在点 ，使 ，且 ，则双曲线的离心率为___________． 【答案】2 16. 若过点 的任意一条直线都不与曲线 相切，则 的取值范围是________． 【答案】 四、解答题．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 在锐角 中，角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，已知 ． （1）求角 大小； （2）若 ， ，求 的面积． 【答案】（1） ；（2） . 18. 设数列 的前 项和为 ，已知 ， ， ． (1)求数列 的通项公式； (2)设 ，数列 的前 项和为 ，求满足 的正整数 的最小值． 【答案】(1) ；(2)6． 19. 如图，在四棱锥 中，底面 是边长为3正方形， 平面 ， ．点 在侧棱 上（端点除外），平面 交 于点 ． （1）求证：四边形 为直角梯形； （2）若