专题13 分类讨论法求解含参数问题- 2021年高考数学二轮经典专题深度解读

专题13 分类讨论法求解含参导数问题 在含参导数中，主要讨论的有这三点： （1）考虑是否有实根，从而引起分类讨论； （2）有实根，但不清楚的实根是否落在定义域内，从而引起分类讨论； （3）有实根，的实根也落在定义域内，但不清楚这些实根的大小关系，从而引起分类讨论． 题型一 判定导数为零是否是否有根，进行分类讨论 1．设函数，其中. （Ⅰ）讨论函数极值点的个数，并说明理由； （Ⅱ）若成立，求的取值范围. 【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）的取值范围是. 【解析】（Ⅰ）先求，令 通过对 的取值的讨论，结合二次函数的知识，由导数的符号得到函数 的单调区间；（Ⅱ）根据（1）的结果这一特殊性，通过对参数的讨论确定的取值范围. 试题解析：函数的定义域为 令， （1）当 时， ， 在上恒成立 所以，函数在上单调递增无极值； （2）当 时， ①当时， ， 所以，，函数在上单调递增无极值； ②当 时， 设方程的两根为 因为 所以， 由可得： 所以，当时， ，函数单调递增； 当时， ，函数单调递减； 当时， ，函数单调递增； 因此函数有两个极值点． （3）当 时， 由可得： 当时， ，函数单调递增； 当时， ，函数单调递减； 因此函数有一个极值点． 综上： 当 时，函数在上有唯一极值点； 当时，函数在上无极值点； 当时，函数在上有两个极值点； （Ⅱ）由（Ⅰ）知， （1）当时，函数在上单调递增， 因为 所以，时， ，符合题意； （2）当 时，由 ，得 所以，函数在上单调递增， 又，所以，时， ，符合题意； （3）当 时，由 ，可得 所以 时，函数 单调递减； 又 所以，当时， 不符合题意； （4）当时，设 因为时， 所以 在 上单调递增， 因此当时， 即： 可得： 当 时， 此时， 不合题意. 综上所述，的取值范围是 2．已知函数. （1）讨论函数极值点的个数，并说明理由； （2）若，恒成立，求的最大整数值. 【答案】（1）当时，在上没有极值点；当时，在上有一个极值点. （2）3. 【解析】(1)首先对函数求导，然后分类讨论可得当时，在上没有极值点；当时，在上有一个极值点. (2)结合题中所给的条件构造新函数（），结合函数的性质可得实数的最大整数值为3. 试题解析： （1）的定义域为，且. 当时，在上恒成立，函数在上单调递减. ∴在上没有极值点； 当时，令得； 列表 所以当时，取得极小值. 综上，当时，在上没有极值点； 当时，在上有一个极值点. （2）对，恒成立等价于对恒成立， 设函数（），则（）， 令函数，则（）， 当时，，所以在上是增函数， 又，， 所以存在，使得，即， 且当时，，即，故在在上单调递减； 当时，，即，故在上单调递增； 所以当时，有最小值， 由得，即， 所以， 所以，又，所以实数的最大整数值为3. 3．已知. （1）当时，讨论函数的零点个数，并说明理由； （2）若是的极值点，证明. 【答案】（1）恒有两个零点；（2）证明见解析. 【解析】（1）当时，， ，，， ，， ∴在上递减，在上递增，∴恒有两个零点； （2）∵，∵是的极值点， ∴；∴ 故要证：，令，即证， 设，即证， ， 令，， ∴在上递增，又， 故有唯一的根，， 当时，，当时，， ∴ . 综上得证. 4．已知函数. （1）讨论函数f(x)的极值点的个数； （2）若f(x)有两个极值点证明. 【答案】（1）见解析（2）见解析 【解析】（1）函数的定义域为 得， （i）当时；， 因为时，时，， 所以是函数的一个极小值点； （ii）若时， 若，即时，， 在是减函数，无极值点. 若，即时， 有两根， 不妨设 当和时，， 当时，， 是函数的两个极值点， 综上所述时，仅有一个极值点； 时，无极值点；时，有两个极值点． （2）由（1）知，当且仅当时，有极小值点和极大值点，且是方程的两根， ，则 所以 设，则，又，即， 所以 所以是上的单调减函数， 有两个极值点，则 题型二 导函数有实根，判定实根是否在定义域内，进行分类讨论 5．已知函数（e为自然对数的底数），函数g（x）满足g′（x）=f′（x）+2f（x），其中f′（x），g′（x）分别为函数f（x）和g（x）的导函数，若函数g（x）在[﹣1，1]上是单调函数，则实数a的取值范围为（　） A．a≤1 B．﹣≤a≤1 C．a＞1 D． 【答案】B 【解析】∵，∴， ∴， ∵在上是单调函数， 则当时， 恒成立或恒成立， 又∵，所以当时， 恒成立必定无解， ∴必有当时， 恒成立， 设，当时， 成立； 当时，由于在上是单调递增， 所以得；当时，由于在上是单调递减， 所以得，综上，故选B. 6．已知f(x)＝ln x，g(x)＝x2－2ax＋4a－1，其中a为实常数． (1)若函数f[g(x)]在区间[1，3]上为