专题12 分离参数法求解参数问题- 2021年高考数学二轮经典专题深度解读

专题11 分离参数法求解含参数问题 分离参数法是高考数学中比较常见的数学思想方法，求参数的范围常常与分类讨论、方程的根与零点等基本思想方法相联系，其中与二次函数相关的充分体现数形结合及分类思想方法的题目最为常见.与二次函数有关的求解参数的题目, 相当一部分题目都可以避开二次函数,使用分离变量,使得做题的正确率大大提高，随着分离变量的广泛使用,越来越多的压轴题都需要使用该思想方法. 一、分离参数，绕开分类讨论 1．已知函数. （a∈R）． （1）当a＝0时，求曲线y＝f（x）在（e，f（e）处的切线方程（e＝2.718…） （2）已知x＝e为函数f（x）的极值点，求函数f（x）的单调区间． 【答案】（1）x+y﹣e＝0．（2）单调递增区间为（0，1）和（e，+∞），单调递减区间为（1，e）． 【解析】（1）∵a＝0， ∴f（x）＝﹣xlnx+x，f′（x）＝﹣lnx， 则直线的斜率k＝f′（e）＝﹣lne＝﹣1， f（e）＝﹣elne+e＝﹣e+e＝0， 故所求切线方程为x+y﹣e＝0． （2）函数的导数f′（x）＝（2ax﹣1）lnx﹣ax﹣1+ax+1＝（2ax﹣1）lnx， ∵x＝e为函数f（x）的极值点， ∴f′（e）＝2ae﹣1＝0，解得a（经检验符合题意） 则f′（x）＝（）lnxlnx， 由f′（x）＝0得x＝1或x＝e， 列表得 x （0，1） 1 （1，e） e （e，+∞） f′（x） + 0 ﹣ 0 + f（x） 增 极大值 减 极小值 增 所以函数f（x）的单调递增区间为（0，1）和（e，+∞），单调递减区间为（1，e）． 2．已知函数，. （1）若曲线在处的切线方程为，且存在实数使得与曲线相切，求的值； （2）设函数. ①若恒成立，求的取值范围； ②若函数仅有两个不同的零点，求的取值范围. 【答案】（1）；（2）①；②. 【解析】（1）由题意知，，，因而曲线在处的切线方程为，故，， 则. 曲线在点处的切线方程为，即. 令，，得，. （2）①由已知得，，. 恒成立，即恒成立， 即恒成立. 设，则，单调递增， 因而恒成立，即恒成立. 令，则， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以，从而. ②函数仅有两个不同的零点，即有两个不同的解， 即有两个不同的解， 根据①可知即有两个不同的解，即有两个不同的解. 因为当时，单调递增，当时，单调递减，，当时，，时，，所以. 3．已知函数，. （1）当，时，求函数在处的切线方程，并求函数的最大值； （2）若函数的两个零点分别为，，且，求证：. 【答案】（1）；（2）见解析 【解析】（1）解：当，时，，， 则，切点为，故函数在处的切线方程为. 令，则在是减函数， 又，∴，，，，，， 在上是增函数，在是减函数，. （2）证明：∵，是的两个零点，不妨设， ∴， ，， ∴，， 相减得： ， ， ∴ ， 令，即证，， ， 令，，， 在上是增函数，又∵， ∴，，命题得证. 二、分离参数与函数单调性综合考查 4．已知函数-1在区间上至少有一个零点，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】-1则，令 可得在（0,1）递减，在（1,2）递增，时，，=2,所以函数-1在区间上至少有一个零点转化为y=a+1与在区间上有交点，即a+12, a1.故选A. 5．若函数f(x)＝ax＋1在区间(－1，1)上存在一个零点，则实数a的取值范围是________． 【答案】(－∞，－1)∪(1，＋∞)　 【解析】由题意知，f(－1)·f(1)<0，即(1－a)(1＋a)<0，解得a<－1或a>1. 6．设是定义在上的偶函数，对任意，都有，且当时，．若函数在区间恰有3个不同的零点，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】试题分析：因为函数是对任意，，都有，所以函数的周期T=4，函数是定义在上的偶函数，且当时，．若函数在区间恰有3个不同的零点，即函数与函数在区间的图象恰有3个不同交点，如下图所示，因为，由题意当时函数的值小于3，当，的值大于3，即且解得 . 三、分离参数证明不等式恒成立问题 7．当x>3时，不等式恒成立，则实数的取值范围是( ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 ,记 在上单调递增， ∴ ∴ 故选D 8．已知f(x)＝3ax2＋6x－1，a∈R． （1）当a＝－3时，求证：对任意x∈R，都有f(x)≤0； （2）如果对任意x∈R，不等式f(x)≤4x恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】（1）证明：当a＝－3时，f(x)＝－9x2＋6x－1， ∵Δ＝36－36＝0，且函数f(x)图象的开口方向向下， ∴对任意x∈R都有f(x)≤0. （2）解：由f(x