专题11 极值点偏移问题 - 2021年高考数学二轮经典专题深度解读

专题11 极值点偏移问题 一、极值点偏移的概念 1.已知函数f(x)的图象的顶点的横坐标就是极值点x0，若f(x)＝c的两根的中点刚好满足＝x0，即极值点在两根的正中间，也就是说极值点没有偏移．此时函数f(x)在x＝x0两侧，函数值变化快慢相同，如图1． 图 1 图 2 图 3 2． 若≠x0，则极值点偏移，此时函数f(x)在x＝x0两侧，函数值变化快慢不同，如图2、图3． （1）若，则，即函数在区间上极（小）大值点右（左）偏； （2）若，则，即函数在区间上极（小）大值点右（左）偏. 证明：（1）因为对于可导函数，在区间上只有一个极大（小）值点，则函数的单调递增（减）区间为，单调递减（增）区间为，由于，有，且，又，故，所以，即函数极（小）大值点右（左）偏； 二、极值点偏移的求解方法：利用对称构造函数 (1)定函数(极值点为x0)，即利用导函数符号的变化判断函数单调性，进而确定函数的极值点x0. (2)构造函数，即根据极值点构造一元差函数F(x)＝f(x)－f(2x0－x)，若证x1x2＞ ，则令F(x)＝f(x)－f（注意：x0为极值点）； (3)对F(x)求导，判断导数符号，即利用导数讨论F(x)的单调性； (4)比较大小：即判断函数F(x)在某段区间上的正负，并得出f(x)与f(2x0－x)的大小关系； (5)转化，即利用函数f(x)的单调性，将f(x)与f(2x0－x)的大小关系转化为x与2x0－x之间的关系，进而得到所证或所求； [注意]　若要证明f′的符号，还需进一步讨论与x0的大小，得出所在的单调区间，从而得出该处导数值的正负． 三、极值点偏移问题求解另一种方法：利用对数平均不等式求解 对数平均不等式：，利用换元法将双变量问题转化为单变量问题，再构造函数求导数，利用单调性证明不等式的成立。 1．已知函数（）. （1）当时，求的单调区间和极值； （2）若，且，证明： 【答案】(1) 函数的单调递减区间是，单调递增区间是，在区间上的极小值为，无极大值；(2)见解析 【解析】（1）， ①时，因为，所以 函数的单调递增区间是，无单调递减区间，无极值； ②当时，令，解得， 当时，；当，. 所以函数的单调递减区间是，单调递增区间是， 在区间上的极小值为，无极大值. （2）因为，由（1）知，函数在区间上单调递减， 在区间上单调递增， 不妨设，则， 要证，只要证，即证 因为在区间上单调递增，所以， 又，即证， 构造函数， 即，. ， 因为，所以，，即， 所以函数在区间上单调递增，故， 而，故， 所以，即，所以成立. 2．已知函数． （1）求的单调区间和极值； （2）设，且，证明：． 【答案】（1）的单调增区间是，单调减区间是 极小值，无极大值．（2）详见解析． 【解析】（1）定义域为， ，令，则∴；令则∴，∴的单调增区间是，单调减区间是 极小值，无极大值． （2）证明：不妨设， ， 两边同除以得， ，令 ，则，即证： 令， 令， ， ， 在上单调递减，所以，即，即 恒成立． ∴在上是减函数，所以，∴得证，所以成立． 3．已知函数. （1）求函数的单调区间和极值； （2）证明：. 【答案】（1）增区间为，减区间为，极大值为，无极小值；（2）见解析.（1）∵函数，∴，则， 由，得，列表如下： 1 + 0 - 单调递增 极大值1 单调递减 因此增区间为，减区间为，极大值为，无极小值. （2）证明：由（1）可得， ∴，当且仅当时取等号. 令， ∴，∴， ∴. 4．已知，函数，直线． 讨论的图象与直线的交点个数； 若函数的图象与直线相交于，两点，证明：． 【答案】（1）当时，无交点；时，有一个交点；时，有两个交点；（2）证明见解析. 由題意，令，  则， 令，解得． 所以在上单调递增， 令，解得，所以在上单调递减， 则当时，函数取得极小值，同时也是最小值 . 当，即时，的图象与直线l无交点， 当，即时的图象与直线l只有一个交点． 当，即时的图象与直线l有两个交点． 综上所述，当时，的图象与直线l无交点;时,的图象与直线l只有一个交点;时的图象与直线l有两个交点． 证明：令， ， ， ，即在上单调递增， ， 时，恒成立， 又， ， ，  即， 又 ， ，，  在上单调递增， 即． ， ， ． ， 即，则， ， 即， 即成立． 5．已知函数. （1）当时，证明：； （2）若，证明：在有唯一的极值点，且. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】 （1）由题意，当时，， 当时，可得；当，则， 令，可得， 所以函数在上单调递增，所以