专题9 函数值域的求解方法- 2021年高考数学二轮经典专题深度解读

专题9 函数值域的求解方法 题型一 配方法 （1）将二次函数配方成； （2）根据二次函数的图像和性质即可求出函数的值域. 【例1】定义在上的函数的值域是__________． 【解析】第一步，将函数配方成： 由 +10+241 第二步，根据二次函数的图像和性质即可求出函数的值域： 因为, 所以1 即函数的值域是 【例2】已知x∈[－，]， （1）求函数y＝cosx的值域； （2）求函数y＝－3（1-cos2x）－4cosx＋4的值域． 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）根据在的单调性，得到函数的值域； （2）将函数化简为，然后设，并且根据上一问得到的范围，写成关于的二次函数，根据二次函数求函数的最值． 试题解析：解： （1）∵y＝cosx在[－，0]上为增函数，在[0，]上为减函数， ∴当x＝0时，y取最大值1； x＝时，y取最小值－． ∴y＝cosx的值域为[－，1]． （2）原函数化为：y＝3cos2x－4cosx＋1， 即， 由（1）知，设，，当时函数取得最小值，当时，函数取得最大值． 故y的值域为[－，]． 【例3】求函数y＝x2＋2x(x∈[0,3])的值域． 【答案】[0,15]． 【解析】由题意得，其图象为开口向上，对称轴为的抛物线， 所以，函数y＝(x＋1)2－1在[0,3]上为增函数， 所以0≤y≤15， 即函数(x∈[0,3])的值域为[0,15]． 【例4】已知－1≤x≤2，求函数y＝f(x)＝3＋2×3x＋1－9x的值域． 【答案】[－24,12] 【解析】f(x)＝3＋2·3x+1－9x＝－(3x)2＋6·3x＋3.令3x＝t，则y＝－t2＋6t＋3＝－(t－3)2＋12.∵－1≤x≤2，∴ 1/3 ≤t≤9. ∴当t＝3，即x＝1时，y取得最大值12；当t＝9，即x＝2时，y取得最小值－24，即f(x)的最大值为12，最小值为－24.∴函数f(x)的值域为[－24,12]． 题型二 单调性法 （1）确定函数的定义域； （2）求出函数的单调区间；[来源:Zxxk.Com] （3）确定函数的值域或最值. 【例5】求函数的值域. 【解析】第一步，将函数化成基本初等函数的形式： 令，所以 第二步，讨论函数的单调性： 因为； 所以在上是增函数，在上是减函数； 第三步，讨论函数的单调性： 又因为在定义域上是减函数； 所以在上是减函数，在上是增函数； 第四步，根据单调性得出函数的最值，进而得出值域： 所以，所以函数的值域为。 【例6】已知y＝4x﹣3•2x+3的值域为[1，7]，则x的取值范围是（　　） A．[2，4] B．（﹣∞，0） C．（0，1）∪[2，4] D．（﹣∞，0]∪[1，2] 【答案】D 【解析】∵y＝4x﹣3•2x+3的值域为[1，7]， ∴1≤4x﹣3•2x+3≤7． ∴﹣1≤2x≤1或2≤2x≤4． ∴x≤0或1≤x≤2． 故选D． 【例7】已知函数f（x）=2+log3x（1≤x≤9），函数g（x）=f2（x）+f（x2），求函数g（x）的值域． 【答案】[6，13]． 【解析】由已知函数f（x）的定义域为x∈{x|1≤x≤9}， 则g（x）的定义域满足， 所以1≤x≤3，所以g（x）的定义域为{x||1≤x≤3}； ， g（x）在x∈[1，3]单调递增， 则g（x）的最大值为g（x）max=g（3）=13， g（x）的最小值为g（x）min=g（1）=6． 故g（x）的值域为[6，13]． 【例7】已知–3≤logx≤–，求函数f（x）=log2log2的值域． 【答案】值域为[–，2]． 【解析】∵–3≤logx≤–，∴，即． ∵f（x）=log2log2=（log2x–log22）（log2x–log24）=（log2x–1）（log2x–2）． 令t=log2x，则， ∴f（x）=g（t）=（t–1）（t–2）=． ∵，∴f（x）max=g（3）=2，． ∴函数f（x）=log2log2的值域为[–，2]． 题型三 换元法 （1）观察函数解析式的形式，函数变量较多且相互关联； （2）第二步 另新元代换整体，得一新函数，求出新函数的值域即为原函数的值域. 【例8】已知函数， ，求的最大值及最小值. 【解析】令 ∵，在定义域递减有4x2， ∴ ∴， ∴当时，取最小值；当时，取最大值7. 【例9】求下列函数的定义域和值域： （1）y＝； （2）y＝； （3）y＝4x＋2x＋1＋2. 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 （1）要使指数函数有意义，则1﹣3x≥0，得3x≤1，得x≤0，即函数的定义域为， 当x≤0时，得0＜3x≤1，则0≤1﹣3x＜1，0≤＜1，即函数的值域为. （2）定义域为R，∵x2－2x－3＝(x－1)2－4≥－4，∴；