专题09绝对值不等式-2021年高考数学（理）选考与统计部分突破性讲练

2021年高考数学（理）选考与统计部分突破性讲练 09 绝对值不等式 一、考点传真： 1.理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：|a＋b|≤|a|＋|b|(a，b∈R)；|a－b|≤|a－c|＋|c－b|(a，b，c∈R)； 2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax＋b|≤c；|ax＋b|≥c；|x－c|＋|x－b|≥a. 二、知识点梳理： 1.绝对值三角不等式 定理1：如果a，b是实数，则|a＋b| ≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立； 定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立. 2.绝对值不等式的解法 (1)含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a的解集 不等式 a>0 a＝0 a<0 |x|<a {x|－a<x<a} ∅ ∅ |x|>a {x|x>a或x<－a} {x|x∈R且x≠0} R (2)|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法 ①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c； ②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c. 3.|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法 法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想. 法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想. 法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想. 【注意点】 1.在解决有关绝对值不等式的问题时，充分利用绝对值不等式的几何意义解决问题能有效避免分类讨论不全面的问题.若用零点分段法求解，要掌握分类讨论的标准，做到不重不漏. 2.绝对值三角不等式|a±b|≤|a|＋|b|，从左到右是一个放大过程，从右到左是缩小过程，证明不等式可以直接用，也可利用它消去变量求最值.绝对值不等式是证明与绝对值有关的不等式的重要工具，但有时还需要通过适当的变形使其符合绝对值不等式的条件. 三、例题： 例1.（2020年全国3卷理数，23）已知函数. (1)画出的图像； (2)求不等式的解集. 【解析】(1)由题设知 的图像如图所示. (2) 函数的图像向左平移1个单位长度后得到函数的图像. 的图像与的图像的交点坐标为. 由图像可知当且仅当时，的图像在的图像上方. 故不等式的解集为. 例2. （2019全国卷II）[选修4-5：不等式选讲] 已知 （1）当时，求不等式的解集； （2）若时，，求的取值范围. 【解析】（1）当a=1时，. 当时，；当时，. 所以，不等式的解集为. （2）因为，所以. 当，时， 所以，的取值范围是. 例3．(2018全国卷Ⅰ)[选修4–5：不等式选讲] 已知． (1)当时，求不等式的解集； (2)若时不等式成立，求的取值范围． 【解析】(1)当时，，即 故不等式的解集为． (2)当时成立等价于当时成立． 若，则当时； 若，的解集为，所以，故． 综上，的取值范围为． 例4．(2018全国卷Ⅱ) [选修4－5：不等式选讲] 设函数． (1)当时，求不等式的解集； (2)若，求的取值范围． 【解析】(1)当时， 可得的解集为． (2)等价于． 而，且当时等号成立．故等价于． 由可得或，所以的取值范围是． 例5．(2018全国卷Ⅲ) [选修4—5：不等式选讲] 设函数． (1)画出的图像； (2)当时，，求的最小值． 【解析】(1) 的图像如图所示． (2)由(1)知，的图像与轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当且时，在成立，因此的最小值为5． 例6．（2017新课标Ⅰ）已知函数，． (1)当时，求不等式的解集； (2)若不等式的解集包含，求的取值范围． 【解析】（1）当时，不等式等价于 ．① 当时，①式化为，无解； 当时，①式化为，从而； 当时，①式化为，从而． 所以的解集为． （2）当时，． 所以的解集包含，等价于当时． 又在的最小值必为与之一， 所以且，得． 所以的取值范围为． 例7．（2017新课标Ⅲ）已知函数． (1)求不等式的解集； (2)若不等式的解集非空，求的取值范围． 【解析】（1）， 当时，无解； 当时，由得，，解得 当时，由解得． 所以的解集为． （2）由得，而 且当时，． 故m的取值范围为． 四、巩固练习： 1.设函数 （1）当时，求不等式的解集； （2）当时，，求的取值范围. 【解析】（1）当时， 可得不等式的解集为 （2）当时， 因为， 所以， 所以， 所以 所以的取值范围为 2.已知函数，其中均为正实数，且． （1）求不等式的解集； （2）当时，求证. 【解析】（1）由题意，， ①当时，，不等式无解； ②当时，，解得，所以 ③当时