专题08不等式证明-2021年高考数学（理）选考与统计部分突破性讲练

2021年高考数学（理）选考与统计部分突破性讲练 08 不等式证明 一、考点传真： 通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法． 二、知识点梳理： 1.基本不等式 定理1：如果a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立. 定理2：如果a，b>0，那么≥，当且仅当a＝b时，等号成立，即两个正数的算术平均不小于(即大于或等于)它们的几何平均. 定理3：如果a，b，c∈R＋，那么≥，当且仅当a＝b＝c时，等号成立. 2.不等式的证明方法 (1)比较法 ①作差法(a，b∈R)：a－b>0⇔a>b；a－b<0⇔a<b；a－b＝0⇔a＝b. ②作商法(a>0，b>0)：>1⇔a>b；<1⇔a<b；＝1⇔a＝b. (2)综合法与分析法 ①综合法：从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立.综合法又叫顺推证法或由因导果法. ②分析法：从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立，这种证法称为分析法，即“执果索因”的证明方法. 【注意点】 1.作差比较法的实质是把两个数或式子的大小判断问题转化为一个数(或式子)与0的大小关系. 2.用分析法证明数学问题时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证(欲证)……”“即要证……”“就要证……”等分析到一个明显成立的结论，再说明所要证明的数学问题成立. 3.利用基本不等式证明不等式或求最值时，要注意变形配凑常数. 三、例题： 例1.（2020年全国1卷理数，23）已知，不等式恒成立． （1）求证：； （2）求证：. 【解析】证明（1）∵，∴． ∵， ∴， ∴， ∴． （2）∵， 即两边开平方得． 同理可得． 三式相加，得 例2.（2020年全国2卷理数，23）设a，b，，，. （1）证明：； （2）用中的最大值，证明： 【解析】（1）由题设可知，均不为零，所以 . （2）不妨设，因为，，所以，，. 由，可得，故，所以. 例3.（2019全国卷I）[选修4—5：不等式选讲] 已知a，b，c为正数，且满足abc=1．证明： （1）； （2）． 【解析】（1）因为，又，故有 . 所以. （2）因为为正数且，故有 =24. 所以. 例4.（2019全国卷III）[选修4-5：不等式选讲] 设，且. （1）求的最小值； （2）若成立，证明：或. 【解析】（1）由于 ， 故由已知得， 当且仅当x=，y=–，时等号成立． 所以的最小值为. （2）由于 ， 故由已知， 当且仅当，，时等号成立． 因此的最小值为． 由题设知，解得或． 例5．(2018江苏)D．[选修4—5：不等式选讲] 若，，为实数，且，求的最小值． D．【证明】由柯西不等式，得． 因为，所以， 当且仅当时，不等式取等号，此时， 所以的最小值为4． 例6．（2017新课标Ⅱ）已知，，，证明： (1)； (2)． 【解析】（1） （2）∵ ， 所以，因此． 四、巩固练习： 1．已知a，b都是正实数，且a＋b＝2，求证：＋≥1. 【解析】证明：∵a＞0，b＞0，a＋b＝2， ∴＋－1＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝. ∵a＋b＝2≥2，∴ab≤1. ∴≥0. ∴＋≥1. 2．已知a＞0，b＞0，a＋b＝2. (1)求＋的最小值； (2)求证：≤1. 【解析】(1)∵a＞0，b＞0，a＋b＝2， ∴＋＝＝×≥(当且仅当b＝2a时等号成立)． (2)证明：＝ab·≤ ·2＝1(当且仅当a＝b时等号成立)． 3．已知函数f(x)＝|x|＋|x－1|. (1)若f(x)≥|m－1|恒成立，求实数m的最大值M； (2)在(1)成立的条件下，正实数a，b满足a2＋b2＝M，证明：a＋b≥2ab. 【解析】(1)由绝对值不等式的性质知 f(x)＝|x|＋|x－1|≥|x－x＋1|＝1， ∴f(x)min＝1，∴只需|m－1|≤1，即－1≤m－1≤1， ∴0≤m≤2，∴实数m的最大值M＝2. (2)证明：∵a2＋b2≥2ab，且a2＋b2＝2， ∴ab≤1，∴≤1，当且仅当a＝b时取等号．① 又≤，∴≤， ∴≤，当且仅当a＝b时取等号．② 由①②得，≤，∴a＋b≥2ab. 4．(1)已知函数f(x)＝|x－2|－|x＋1|，解不等式f(x)≥x2－2x； (2)已知x，y，z均为正数，求证：＋＋≥＋＋. 【解析】(1)f(x)＝|x－2|－|x＋1|＝ 当x≤－1时，不等式为x2－2x≤3，∴－1≤x≤3， 即x＝－1； 当－1＜x＜2时，不等式为x2－2x≤－2x＋1， 解得－1≤x≤1，即－1＜x≤1； 当x≥2时，不等式为x2－2x≤－3，∴x∈∅. 综上，不等式的解集为[－1,1]． (2)