专题07参数方程-2021年高考数学（理）选考与统计部分突破性讲练

2021年高考数学（理）选考与统计部分突破性讲练 07 参数方程 一、考点传真： 1.了解参数方程，了解参数的意义； 2.能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程． 二、知识点梳理： 1.曲线的参数方程 一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数并且对于t的每一个允许值，由这个方程组所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x，y的变数t叫做参变数，简称参数. 2.参数方程与普通方程的互化 通过消去参数从参数方程得到普通方程，如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如x＝f(t)，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y＝g(t)，那么就是曲线的参数方程.在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致. 3.常见曲线的参数方程和普通方程 点的轨迹 普通方程 参数方程 直线 y－y0＝tan α(x－x0) (t为参数) 圆 x2＋y2＝r2 (θ为参数) 椭圆 ＋＝1(a＞b＞0) (φ为参数) 【注意点】　直线的参数方程中，参数t的系数的平方和为1时，t才有几何意义且几何意义为：|t|是直线上任一点M(x，y)到M0(x0，y0)的距离． 三、例题： 例1.（2020年全国1卷理数，22）在直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数).以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为. (1)当时，是什么曲线？ (2)当时，求与的公共点的直角坐标. (1)曲线是圆心为坐标原点，半径为1的圆；(2). 【解析】(1)当时，消去参数得，故曲线是圆心为坐标原点，半径为1的圆. (2)当时，消去参数得的直角坐标方程为, 的直角坐标方程为. 由解得 故与的公共点的直角坐标为. 例2.（2020年全国2卷理数，22）已知曲线的参数方程分别为 （为参数），（t为参数）. （1）将的参数方程化为普通方程； （2）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，设的交点为，求圆心在极轴上，且经过极点和的圆的极坐标方程. （1）；；（2）. 【解析】（1）的普通方程为. 由的参数方程得，，所以. 故的普通方程为. （2）由得所以的直角坐标为. 设所求圆的圆心的直角坐标为，由题意得， 解得. 因此，所求圆的极坐标方程为 例3.（2020年全国3卷理数，22）在直角坐标系中，曲线C的参数方程为（t为参数且），C与坐标轴交于A，B两点. （1）求； （2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线的极坐标方程. 【解析】（1）因为，由得，所以C与y轴的交点为；由得，所以C与x轴的交点为. 故. （2）由（1）可知，直线的直角坐标方程为，将代入，得直线的极坐标方程. 例4.（2019全国卷II）[选修4-4：坐标系与参数方程] 在极坐标系中，O为极点，点在曲线上，直线l过点且与垂直，垂足为P. （1）当时，求及l的极坐标方程； （2）当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程. 【解析】（1）因为在C上，当时，. 由已知得. 设为l上除P的任意一点.在中， 经检验，点在曲线上. 所以，l的极坐标方程为. （2）设，在中， 即. 因为P在线段OM上，且，故的取值范围是. 所以，P点轨迹的极坐标方程为 . 例5.（2019全国卷III）[选修4-4：坐标系与参数方程] 如图，在极坐标系Ox中，，，，，弧，，所在圆的圆心分别是，，，曲线是弧，曲线是弧，曲线是弧. （1）分别写出，，的极坐标方程； （2）曲线由，，构成，若点在M上，且，求P的极坐标. 【解析】（1）由题设可得，弧所在圆的极坐标方程分别为，，. 所以的极坐标方程为，的极坐标方程为，的极坐标方程为. （2）设，由题设及（1）知 若，则，解得； 若，则，解得或； 若，则，解得. 综上，P的极坐标为或或或. 例6．(2018全国卷Ⅲ)[选修4—4：坐标系与参数方程] 在平面直角坐标系中，的参数方程为，（为参数），过点且倾斜角为的直线与交于，两点． (1)求的取值范围； (2)求中点的轨迹的参数方程． 【解析】(1)的直角坐标方程为． 当时，与交于两点． 当时，记，则的方程为．与交于两点当且仅当，解得或，即或． 综上，的取值范围是． (2)的参数方程为为参数，． 设，，对应的参数分别为，，，则， 且，满足． 于是，．又点的坐标满足 所以点的轨迹的参数方程是为参数，． 例7．（2017新课标Ⅱ）在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为． (1)为曲线上的动点，点在线段上，且满足，求点的轨迹的直角坐标方程； (2)设点的极坐标为，点在曲线上，求面积的最大值． 【解析】（1）设的极坐标为，的