专题06坐标系-2021年高考数学（理）选考与统计部分突破性讲练

2021年高考数学（理）选考与统计部分突破性讲练 06 坐标系 一、考点传真： 1.了解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况； 2.了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化； 3.能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程． 二、知识点梳理： 1.平面直角坐标系中的伸缩变换 设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换. 2.极坐标系 (1)极坐标与极坐标系的概念 在平面内取一个定点O，自点O引一条射线Ox，同时确定一个长度单位和计算角度的正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系.点O称为极点，射线Ox称为极轴.平面内任一点M的位置可以由线段OM的长度ρ和从射线Ox到射线OM的角度θ来刻画(如图所示).这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为点M的极坐标.ρ称为点M的极径，θ称为点M的极角.一般认为ρ≥0.当极角θ的取值范围是[0，2π)时，平面上的点(除去极点)就与极坐标(ρ，θ)(ρ≠0)建立一一对应的关系.我们设定，极点的极坐标中，极径ρ＝0，极角θ可取任意角. (2)极坐标与直角坐标的互化 设M为平面上的一点，它的直角坐标为(x，y)，极坐标为(ρ，θ).由图可知下面的关系式成立： 或 这就是极坐标与直角坐标的互化公式. 3.常见曲线的极坐标方程 曲线 图形 极坐标方程 圆心在极点，半径为r的圆 ρ＝r(0≤θ<2π) 圆心为(r，0)，半径为r的圆 ρ＝2rcos__θ 圆心为，半径为r的圆 ρ＝2rsin__θ (0≤θ<π) 过极点，倾斜角为α的直线 θ＝α(ρ∈R) 或θ＝α＋π(ρ∈R) 过点(a，0)，与极轴垂直的直线 ρcos__θ＝a 过点，与极轴平行的直线 ρsin__θ＝a (0<θ<π) 【注意点】 关于极坐标系 1.极坐标系的四要素：①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位和它的正方向，四者缺一不可. 2.由极径的意义知ρ≥0，当极角θ的取值范围是[0，2π)时，平面上的点(除去极点)与极坐标(ρ，θ)(ρ≠0)建立一一对应关系，约定极点的极坐标是极径ρ＝0，极角可取任意角. 3.极坐标与直角坐标的重要区别：多值性. 三、例题： 例1.（2019全国卷I）[选修4—4：坐标系与参数方程] 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为． （1）求C和l的直角坐标方程； （2）求C上的点到l距离的最小值． 【解析】（1）因为，且，所以C的直角坐标方程为. 的直角坐标方程为. （2）由（1）可设C的参数方程为（为参数，）. C上的点到的距离为. 当时，取得最小值7，故C上的点到距离的最小值为. 例2．(2018全国卷Ⅰ) [选修4–4：坐标系与参数方程] 在直角坐标系中，曲线的方程为．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为． (1)求的直角坐标方程； (2)若与有且仅有三个公共点，求的方程． 【解析】(1)由，得的直角坐标方程为． (2)由(1)知是圆心为，半径为的圆． 由题设知，是过点且关于轴对称的两条射线．记轴右边的射线为，轴左边的射线为．由于在圆的外面，故与有且仅有三个公共点等价于与只有一个公共点且与有两个公共点，或与只有一个公共点且与有两个公共点． 当与只有一个公共点时，到所在直线的距离为，所以，故或． 经检验，当时，与没有公共点；当时，与只有一个公共点，与有两个公共点． 当与只有一个公共点时，到所在直线的距离为，所以，故或． 经检验，当时，与没有公共点；当时，与没有公共点． 综上，所求的方程为． 例3. (2018全国卷Ⅱ)[选修4－4：坐标系与参数方程]（10分） 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）． (1)求和的直角坐标方程； (2)若曲线截直线所得线段的中点坐标为，求的斜率． 【解析】(1)曲线的直角坐标方程为． 当时，的直角坐标方程为， 当时，的直角坐标方程为． (2)将的参数方程代入的直角坐标方程，整理得关于的方程 ．① 因为曲线截直线所得线段的中点在内，所以①有两个解，设为，，则． 又由①得，故，于是直线的斜率． 例4．(2018江苏) [选修4—4：坐标系与参数方程] 在极坐标系中，直线的方程为，曲线的方程为，求直线被曲线截得的弦长． 【解析】因为曲线的极坐标方程为， 所以曲线的圆心为，直径为4的圆． 因为直线的极坐标方程为， 则直线过，倾斜角为， 所以A为直线与圆的一个交点． 设另