7.1.1　角的推广 配套Word教参-【优化指导】2020-2021学年新教材高中数学必修第三册 (人教B版)

第七章　三角函数 7.1　任意角的概念与弧度制 7.1.1　角的推广 课程标准 学科素养 1．理解任意角的概念、象限角与区间角的概念． 2．掌握终边相同角的表示方法，会用角的集合表示一些实际问题中的角. 通过对角的推广的学习，达成数学抽象、数学运算的核心素养. 知识点1　角的概念的推广 一条射线绕其端点旋转到另一条射线所形成的图形称为角，这两条射线分别称为角的始边和终边，按照逆时针方向旋转而成的角称为正角，按照顺时针方向旋转而成的角称为负角，当射线没有旋转时，也把它看成一个角，称为零角，这样定义的角，由于是旋转生成的，所以也称为转角． [微体验] 1．下列说法正确的是(　　) A．最大角是180°　　　　 B．最大角是360° C．角不可以是负的　　 D．角可以任意大小 D　[由角的定义，角可以是任意大小的．] 2．喜洋洋步行从家里到草原学校去上学，一般需要10分钟，则10分钟时间，钟表的分针走过的角度是(　　) A．30°　　 B．－30°　　 C．60°　　 D．－60° D　[利用定义，分针是顺时针走的，形成的角度是负角，又因为周角为360°，所以有×2＝60°，即分针走过的角度是－60°.] 知识点2　象限角 角的顶点与坐标原点重合，角的始边落在x轴的正半轴上，角的终边在第几象限，就把这个角称为第几象限角，如果终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限． [微体验] 1．下列哪个角是第三象限角(　　) A．15°　　 B．105°　　 C．215°　　 D．315° C　[∵215°＝180°＋35°，∴215°是第三象限的角．] 2．以下说法，其中正确的有(　　) ①－75°是第四象限角　　　　　②225°是第三象限角 ③475°是第二象限角　　　　④－315°是第一象限角 A．1个　　 B．2个　　 C．3个　　 D．4个 答案　D 知识点3　终边相同的角 一般地，角α＋k·360°(k∈Z)与角α的终边相同．任意两个终边相同的角，它们的差一定是360°的整数倍，因此，所有与α终边相同的角组成一个集合，记为S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}. [微体验] 1．下列各角中，与60°角终边相同的角是(　　) A．－300°　　 B．－60°　　 C．600°　　 D．1 380° A　[与60°角终边相同的角α＝k·360°＋60°，k∈Z，令k＝－1，则α＝－300°.] 2．已知α＝30°，将其终边按逆时针方向旋转三周后的角度数为____________． 1 110°　[3×360°＋30°＝1 110°.] 探究一　角的基本概念 下列命题 ①第一象限角一定不是负角； ②第二象限角大于第一象限角； ③第二象限角是钝角； ④小于180°的角是钝角、直角或锐角． 其中不正确的序号为____________． ①②③④　[①－330°角是第一象限角，但它是负角，所以①不正确． ②120°角是第二象限角，390°角是第一象限角，显然390°>120°，所以②不正确． ③480°角是第二象限角，但它不是钝角，所以③不正确． ④0°角是小于180°角，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，故④不正确．] [方法总结] 1．解决此类问题关键在于正确理解象限角及锐角、直角、钝角、平角、周角等概念，严格辨析它们之间的联系与区别． 2．判断结论正确与否时，若要说明结论正确，需要严格的推理论证，若要说明结论错误，只需举出反例即可． [跟踪训练1]　在下列说法中： ①时钟经过两个小时，时针转过的角是60°； ②钝角一定大于锐角； ③射线OA绕端点O按逆时针旋转一周所成的角是0°； ④小于90°的角都是锐角． 其中错误说法的序号为____________． ①③④　[①时钟经过两个小时，时针按顺时针方向旋转60°，因而转过的角为－60°，所以①不正确． ②钝角α的取值范围为90°<α<180°，锐角θ的取值范围为0°<θ<90°，因此钝角一定大于锐角，所以②正确． ③射线OA按逆时针旋转一周所成的角是360°，所以③不正确． ④锐角θ的取值范围是0°<θ<90°，小于90°的角也可以是零角或负角，所以④不正确．] 探究二　终边相同的角 已知角α＝2 010°. (1)把α改写成k·360°＋β(k∈Z,0°≤β<360°)的形式，并指出它是第几象限角； (2)求θ，使θ与α终边相同，且－360°≤θ<720°. 解　(1)由2 010°除以360°，得商为5，余数为210°. ∴取k＝5，β＝210°，α＝5×360°＋210°. 又β＝210°是第三象限角， ∴α为第三象限角． (2)与2 010°终边相同的角：k·360°＋2 010°(k∈Z)． 令－360°≤k·360°＋2 010°<720°(k∈Z)， 解得－6