阶段复习课(七)　三角函数 配套Word教参-【优化指导】2020-2021学年新教材高中数学必修第三册 (人教B版)

阶段复习课(七)　三角函数 一、任意角的三角函数的定义及三角函数线 掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义及三角函数线，能够利用三角函数的定义求三角函数值，利用三角函数线判断三角函数的符号，借助三角函数线求三角函数的定义域． [训练1]　已知α是第二象限角，P(x，)为其终边上一点，且cos α＝x，求sin α的值． 解　因为OP＝，所以cos α＝＝x. 又α是第二象限角，所以x<0，得x＝－，所以sin α＝＝. [训练2]　求函数f(x)＝＋的定义域． 解　函数f(x)有意义，则 即 如图所示，结合三角函数线知 ∴2kπ＋≤x<2kπ＋(k∈Z)． 故f(x)的定义域为. 二、同角三角函数的关系式及诱导公式 (1)牢记两个基本关系式sin2α＋cos2α＝1及＝tan α，并能应用两个关系式进行三角函数的求值、化简、证明．在应用中，要注意掌握解题的技巧，同时要体会数学思想方法如数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想及函数与方程思想的应用． (2)诱导公式可概括为k·±α(k∈Z)的各三角函数值的化简公式．记忆规律是：奇变偶不变，符号看象限． [训练3]　已知f(α)＝. (1)化简f(α)； (2)若f(α)＝，且<α<，求cos α－sin α的值； (3)若α＝－π，求f(α)的值． 解　(1)f(α)＝＝sin α·cos α. (2)由f(α)＝sin α·cos α＝可知， (cos α－sin α)2＝cos2α－2sin α·cos α＋sin2α＝1－2sin α·cos α＝1－2×＝， 又∵<α<，∴cos α<sin α，即cos α－sin α<0， ∴cos α－sin α＝－. (3)∵α＝－π＝－6×2π＋， ∴f＝cos·sin ＝cos·sin ＝cos·sin＝×＝. [训练4]　已知sin(30°－α)＝，求＋的值． 解　原式＝＋ ＝＋ ＝ ＝＝3.∴原式＝3. 三、三角函数的图像及变换 三角函数的图像是研究三角函数性质的基础，又是三角函数性质的具体体现．在平时的考查中，主要体现在三角函数图像的变换和解析式的确定，以及通过对图像的描绘、观察来讨论函数的有关性质． [训练5]　如图是函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k的一段图像． (1)求此函数解析式； (2)分析一下该函数是如何通过y＝sin x变换得来的？ 解　(1)由图像知A＝＝， k＝＝－1，T＝2×＝π，∵ω>0， ∴ω＝＝2.∴y＝sin(2x＋φ)－1. 当x＝时，2×＋φ＝＋2kπ，∵|φ|<，∴φ＝. ∴所求函数解析式为y＝sin－1. (2)把y＝sin x图像向左平移个单位得到y＝sin图像，然后纵坐标保持不变、横坐标缩短为原来的， 得到y＝sin图像，再横坐标保持不变，纵坐标变为原来的得到y＝sin图像，最后把函数y＝sin的图像向下平移1个单位，得到y＝sin－1的图像． [训练6]　已知函数y＝cos x＋|cos x|. (1)画出函数的简图； (2)这个函数是周期函数吗？如果是，求出它的最小正周期； (3)指出这个函数的单调增区间． 解　(1)y＝cos x＋|cos x| ＝ 函数图像如图所示． (2)由图像可知函数的最小正周期是2π. (3)由图像可知函数的单调增区间为(k∈Z)． 四、三角函数的性质 高考中三角函数的性质是必考内容之一，着重考查三角函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等有关性质，特别是复合函数的周期性、单调性和最值(值域)应引起重视． [训练7]　已知函数f(x)＝2sin＋a＋1(其中a为常数)． (1)求f(x)的单调区间； (2)若x∈时，f(x)的最大值为4，求a的值； (3)求f(x)取最大值时x的取值集合． 解　(1)由－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z， 解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z， ∴函数f(x)的单调增区间为(k∈Z)，由＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z， 解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z， ∴函数f(x)的单调减区间为(k∈Z)． (2)∵0≤x≤，∴≤2x＋≤， ∴－≤sin≤1， ∴f(x)的最大值为2＋a＋1＝4，∴a＝1， (3)当f(x)取最大值时，2x＋＝＋2kπ，k∈Z， ∴2x＝＋2kπ，k∈Z，∴x＝＋kπ，k∈Z. ∴当f(x)取最大值时，x的取值集合是 . [训练8]　已知f(x)＝sin＋，x∈R. (1)求函数f(x)的最小正周期； (2)求函数f(x)的单调减区间； (3)函数f(x)的图像可以由函数y＝sin 2x(x∈R)的图像经过怎样变换得到？ 解　(1)T＝＝π. (2)由2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z， 得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z. 所以所求的单调减区间为(k∈Z)． (3)把y＝sin 2x的图像上所