8.2.4　三角恒等变换的应用 配套Word教参-【优化指导】2020-2021学年新教材高中数学必修第三册 (人教B版)

8.2.4　三角恒等变换的应用 课程标准 学科素养 1．运用三角变换公式进行简单的三角恒等变换． 2．理解积化和差与和差化积公式得推到过程，并会应用． 3．应用半角公式求值时的符号问题. 通过对三角恒等变换的应用的学习，提升逻辑推理、数学运算的核心素养. 知识点1　半角公式 sin＝± ，cos＝± ，tan＝±，根号前的正负号，由角所在象限确定．推广公式：tan ＝＝. [微体验] 1．若cos α＝，α∈(0，π)，则cos的值为(　　) A．　　　 B．－　　 C．±　　 D．± A　[由题意知∈，∴cos>0，cos＝＝.] 2．已知cos α＝，α∈，则sin等于(　　) A．－　　 B．　　 C．　　 D．－ B　[由题意知∈，∴sin>0，sin＝＝.] 知识点2　积化和差与和差化积公式 (1)积化和差公式： sin αcos β＝[sin(α＋β)＋sin(α－β)]，cos αsin β＝[sin(α＋β)－sin(α－β)]， cos αcos β＝[cos(α＋β)＋cos(α－β)]，sin αsin β＝－[cos(α＋β)－cos(α－β)]. (2)和差化积公式： sin α＋sin β＝2sincos，sin α－sin β＝2cossin， cos α＋cos β＝2coscos，cos α－cos β＝－2sinsin. [微体验] 1．sin 15°cos 165°的值是(　　) A．　　 B．　　 C．－　　 D．－ C　[sin 15°cos 165° ＝sin 15°cos(180°－15°) ＝－sin 15°cos 15° ＝－sin 30° ＝－.] 2．把cos 3a＋cos 5a化为积的形式，其结果为____________． 2cos 4acos a　[∵cos 3a＋cos 5a＝2coscos＝2cos 4acos a．] 探究一　应用半角公式求值 已知sin θ＝，且<θ <3π，求cos和tan. 解　∵sin θ＝，<θ<3π， ∴cos θ＝－＝－. 由cos θ＝2cos2－1得cos2＝＝. ∵＜<π.∴cos＝－＝－. tan＝＝＝＝2. [方法总结] 1．若没有给出角的范围，则根号前的正负号需要根据条件讨论． 2．由三角函数值求其他三角函数式的值的步骤： (1)先化简所求的式子； (2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从角和三角函数名称入手)． [跟踪训练1]　本例中将条件改为“π<θ<π，且sin θ＝－”，如何求解？ 解　∵sin θ＝－，π<θ<π， ∴cos θ＝－＝－. 由cos θ＝2cos2－1得cos2＝＝， ∵π<θ <π，∴<<π. ∴cos＝－＝－. ∴tan＝＝＝＝－2. 探究二　和差化积公式的应用 函数y＝cos2＋sin2－1的最小正周期为____________． π　[y＝cos2＋sin2－1 ＝＋－1 ＝ ＝ ＝－sin 2xsin＝sin 2x， ∴T＝＝π.] [方法总结] 只有系数绝对值相同的同名函数的和与差，才能直接运用公式化成积的形式，如果一个正弦与一个余弦的和或差，则要先用诱导公式化成同名函数后再运用公式化积． [跟踪训练2]　函数y＝cos x＋cos，x∈(0，π)的最小值为(　　) A．－　　 B．　　　 C．－　　 D． C　[由和差化积公式得： y＝2coscos ＝2coscos＝cos， 因为x∈(0，π)，所以x－∈，故ymin＝×＝－.] 探究三　积化和差公式的应用 求函数f(x)＝sin xcos的值域． 解　由积化和差公式得 y＝ ＝sin＋sin＝sin－ 所以函数的最大值是，最小值是－. [变式探究]　本例中，求函数的周期． 解　T＝＝π，即函数的周期是π. [方法总结] 利用积化和差公式可将函数解析式化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，从而可研究函数的性质． [跟踪训练3]　函数f(x)＝sin 2xcos的单调递减区间是____________． ，k∈Z　[由积化和差公式得： y＝ ＝ ＝sin－ 由2kπ＋≤4x＋≤2kπ＋，得－≤x≤＋，k∈Z 所以函数的递减区间是，k∈Z.] 1．已知cos α的值及所在的象限，就可以通过半角公式求得sin ，cos ，tan 的值． 2．在进行三角恒等变换时，遇有正、余弦函数的平方，要先考虑降幂公式，然后应用和差化积、积化和差公式交替使用进行化简或计算．和积互化公式其基本功能在于：当和、积互化时，角度要重新组合，因此有可能产生特殊角；结构将变化，因此有可能产生互消项或互约因式，从而利于化简求值．正因为如此“和、积互化”是三角恒等变形的一种基本手段． $$