8.2.2　两角和与差的正弦、正切 配套Word教参-【优化指导】2020-2021学年新教材高中数学必修第三册 (人教B版)

8.2.2　两角和与差的正弦、正切 课程标准 学科素养 1．能利用两角和与差的正弦、正切公式进行化简求值． 2．掌握两角和与差的正弦、正切公式的逆用、变形用. 通过对两角和与差的正弦、正切的学习，增强逻辑推理、数学运算的核心素养. 知识点1　两角和与差的正弦 根据两角和与差的余弦公式可推出两角和与差的正弦公式： Sα＋β：sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β， Sα－β：sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β. asin x＋bcos x＝sin(x＋φ)， [微体验] 1．sin 75°＝____________. 　[sin 75°＝sin(30°＋45°)＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45°＝×＋×＝.] 2．若cos α＝－，α是第三象限的角，则sin＝____________. －　[∵cos α＝－，α是第三象限角，∴sin α＝－，∴sin＝sin αcos＋cos αsin＝×＝－.] 知识点2　两角和与差的正切公式 Tα＋β：tan(α＋β)＝；Tα－β：tan(α－β)＝. [微体验] 1．若tan α＝3，tan β＝，则tan(α－β)等于(　　) A．　　　 B．－　　 C．3　　　 D．－3 A　[tan(α－β)＝＝＝.] 2．tan 75°＝____________. 2＋　[tan 75°＝tan(45°＋30°)＝＝＝＝2＋.] 探究一　两角和与差的正弦公式 (1)sin 21°cos 39°＋cos 21°sin 39°等于(　　) A．　　　 B．　　　 C．　　　 D．1 (2)已知＜α＜，0＜β＜，cos＝－，sin＝，求sin(α＋β)的值． (1)C　[sin 21°cos 39°＋cos 21°sin 39°＝sin(21°＋39°)＝sin 60°＝.] (2)解　因为＜α＜π，所以＜＋α＜π. 所以sin＝ ＝. 又因为0＜β＜，π＜π＋β＜π， 所以cos＝－＝－， 所以sin(α＋β)＝－sin(π＋α＋β) ＝－sin ＝－ ＝－＝. [方法总结] 两角和与差的正弦公式的一般使用方法 ①正用：把sin(α±β)从左向右展开． ②逆用：公式的右边化简成左边的形式，当结构不具备条件时，要用相关公式调节后再逆用． ③变形应用：它涉及两个方面，一是公式本身的变形；二是角的变形，也称为角的拆分变换，如β＝(α＋β)－α，2α＝(α＋β)＋(α－β)． [跟踪训练1]　已知α∈，β∈且sin(α＋β)＝，cos β＝－，求sin α. 解　因为β∈，cos β＝－，所以sin β＝. 又因为0＜α＜，＜β＜π， 所以＜α＋β＜，又sin(α＋β)＝，所以＜α＋β＜π， cos(α＋β)＝－ ＝－＝－， 所以sin α＝sin[(α＋β)－β] ＝sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β ＝×－×＝. 探究二　辅助角公式的应用 将下列各式写成Asin(ωx＋φ)的形式： (1)sin x－cos x； (2)sin＋cos. 解　(1)sin x－cos x＝2 ＝2＝2sin. (2)sin＋cos ＝ ＝ ＝cos ＝cos＝sin. [方法总结] (1)公式形式：公式asin α＋bcos α＝sin(α＋φ)(或asin α＋bcos α＝cos(α－φ))将形如asin α＋bcos α(a，b不同时为零)的三角函数式收缩为同一个角的一种三角函数式． (2)形式选择：化为正弦还是余弦，要看具体条件而定，一般要求变形后角α的系数为正，这样更有利于研究函数的性质．[跟踪训练2]　sin＝，则cos x＋cos的值为(　　) A．－　　 B．　　　 C．－　　 D． B　[cos x＋cos＝cos x＋cos x＋sin x ＝cos x＋sin x＝sin＝.] 探究三　两角和与差的正切公式 (1)已知sin α＝，α是第二象限的角，且tan(α＋β)＝－，则tan β的值为(　　) A．－　　 B．　　　 C．－　　 D． (2)的值等于______________． (1)C　[∵α为第二象限角， ∴cos α＜0，cos α＝－，∴tan α＝－. tan β＝tan[(α＋β)－α]＝ ＝＝－.] (2)　[原式＝＝tan(45°＋15°)＝.] [方法总结] 两角和与差的正切公式的应用策略 (1)“1”的代换：在T(α±β)中，如果分子中出现“1”常利用1＝tan来代换，以达到化简求值的目的，如＝tan；＝tan. (2)整体意识：若化简的式子中出现了“tan α±tan β”及“tan αtan β”两个整体，常考虑tan(α±β)的变形公式． [跟踪训练3]　若α＋