8.2.1　两角和与差的余弦 配套Word教参-【优化指导】2020-2021学年新教材高中数学必修第三册 (人教B版)

8.2　三角恒等变换 8.2.1　两角和与差的余弦 课程标准 学科素养 1．能利用两角和与差的余弦公式进行化简求值． 2．两角和与差的公式的逆用、变形用. 通过对两角和与差的余弦的学习，提升数学抽象、直观想象、逻辑推理、数学运算的核心素养. 知识点　两角和与差的余弦 1．对任意角α与β，都有cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β，这就是两角差的余弦公式，简记为Cα－β. 2．两角和的余弦公式Cα＋β：cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β. [微体验] 1．cos 17°等于(　　) A．cos 20°cos 3°－sin 20°sin 3° B．cos 20°cos 3°＋sin 20°sin 3° C．sin 20°sin 3°－cos 20°cos 3° D．cos 20°sin 20°＋sin 3°cos 3° B　[cos 17°＝cos(20°－3°)＝cos 20°cos 3°＋sin 20°sin 3°.] 2．若a＝(cos 60°，sin 60°)，b＝(cos 15°，sin 15°)，则a·b＝(　　) A．　　　 B．　　　 C．　　　 D．－ A　[a·b＝cos 60°cos 15°＋sin 60°sin 15°＝cos (60°－15°)＝cos 45°＝.] 探究一　利用两角和与差的余弦公式求值 (1)已知cos θ＝，θ∈，则cos＝____________. (2)化简cos 80°·cos 35°＋cos 10°·cos 55°＝____________. (1)　[∵cos θ＝，θ∈，∴sin θ＝， ∴cos＝cos θcos＋sin θsin＝×＋×＝.] (2)　[原式＝cos 80°cos 35°＋sin 80°sin 35°＝cos(80°－35°)＝cos 45°＝.] [方法总结] (1)运用两角差的余弦公式解决问题要深刻理解公式的特征，不要死记． (2)在逆用公式解题时，还要善于将特殊的值变形为某特殊角的三角函数值． [跟踪训练1]　已知cos α＝－，α∈，tan β＝－，β∈，求cos(α＋β)． 解　因为α∈，cos α＝－，所以sin α＝－. 因为β∈，tan β＝－， 所以cos β＝－，sin β＝. 所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ＝－×－×＝. 探究二　已知三角函数值求角 已知α、β均为锐角，且cos α＝，cos β＝，求α－β的值． 解　∵α、β均为锐角，∴sin α＝，sin β＝. ∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝×＋×＝. 又sin α＜sin β，∴0＜α＜β＜， ∴－＜α－β＜0.故α－β＝－. [方法总结] 已知三角函数值求角的解题步骤 (1)界定角的范围，根据条件确定所求角的范围． (2)求所求角的某种三角函数值．为防止增解最好选取在上述范围内单调的三角函数． (3)结合三角函数值及角的范围求角． [跟踪训练2]　已知cos α＝，cos(α－β)＝，且0＜β＜α＜，求β的值． 解　由cos α＝，0＜α＜，得 sin α＝ ＝ ＝. 由0＜β＜α＜，得0＜α－β＜. 又∵cos(α－β)＝， ∴sin(α－β)＝ ＝ ＝. 由β＝α－(α－β)得 ∴cos β＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝×＋×＝. ∵0＜β＜，∴β＝. 探究三　两角和与差的余弦公式的灵活运用 已知sin＝，且＜α＜，求cos α的值． 解　∵sin＝，且＜α＜， ∴＜α＋＜π，∴cos＝ －＝－. ∴cos α＝cos ＝coscos＋sinsin ＝－×＋×＝. [变式探究]　在本例中，若把α的范围改为：“π＜α＜π”，其他条件不变，又如何求cos α的值？ 解　∵sin＝，且＜α＜π. ∴π＜α＋＜2π. ∴cos＝ ＝ ＝. ∴cos α＝cos＝cos·cos＋sin·sin ＝×＋×＝. [方法总结] 1．本题求解的关键在于把角α分解成两角α＋与α之差，变角是进行三角变换的常用方法技巧，如α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，α＝(2α＋β)－(α＋β)等． 2．利用差角的余弦公式求值时，不能机械地从表面去套公式，而要变通地从本质上使用公式．即把所求的角分解成某两个角的差，并且这两个角的正、余弦函数值是已知的或可求的，再代入公式计算． [跟踪训练3]　已知tan α＝4，cos (α＋β)＝－，α、β均为锐角，求cos β的值． 解　∵α∈，tan α＝4，∴sin α＝4cos α① sin2α＋cos2α＝1②，由①②得sin α＝，cos α＝. ∵α＋β∈(0，π)，cos(α＋β)＝－，∴