8.1.3　向量数量积的坐标运算 配套Word教参-【优化指导】2020-2021学年新教材高中数学必修第三册 (人教B版)

8.1.3　向量数量积的坐标运算 课程标准 学科素养 1．能用坐标表示向量的数量积． 2．会用坐标表示两个平面向量的夹角． 3．能用坐标表示平面向量垂直的条件. 通过对向量的数量积的坐标运算的学习，发展直观想象、逻辑推理、数学运算的核心素养. 知识点1　向量的坐标与向量的数量积 1．在平面直角坐标系中，分别给定与x轴、y轴正方向相同的单位向量e1，e2之后，如果对于平面内的向量a，有a＝x e1＋y e2，则(x，y)就是向量a的坐标，记作a＝(x，y). 2．设a＝(x1，y2)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2，|a|2＝a·a＝x＋y，|a|＝，cos 〈a，b〉＝. 3．在平面直角坐标系中，如果A(x1，y2)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，||＝. [微体验] 1．已知a＝(0,1)，b＝(2，－1)，则a·b等于(　　) A．1　　 B．－1 　　 C．2　　 D．－2 B　[∵a＝(0,1)，b＝(2，－1)，∴a·b＝(0,1)·(2，－1)＝0×2＋1×(－1)＝－1.] 2．设向量a与b的夹角为θ，a＝(2,1)，3b＋a＝(5,4)，则cos θ＝(　　) A．　　 B．　　 C．　　 D． D　[因为3b＝3b＋a－a＝(5,4)－(2,1)＝(3,3)，所以b＝(1,1)，所以cos θ＝＝＝＝.] 知识点2　向量垂直的坐标表示 设a＝(x1，y2)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1x2＋y1y1＝0. [微体验] 1．已知向量a＝(－5,6)，b＝(6,5)，则a与b(　　) A．垂直　　 B．不垂直也不平行 C．平行且同向　　 D．平行且反向 A　[∵－5×6＋6×5＝0，∴a⊥b.] 2．向量a＝(－1,2)，b＝(1,3)，下列结论正确的是(　　) A．a∥b　　 B．a⊥b C．a∥(a－b)　　 D．a⊥(a－b) D　[由a－b＝(－2，－1)，易得a·(a－b)＝0，故a⊥(a－b)．] 探究一　数量积的坐标运算 已知向量a＝(－1,2)，b＝(3,2)． (1)求a·(a－b)； (2)求(a＋b)·(2a－b)； (3)若c＝(2,1)，求(a·b)c，a(b·c)． 解　(1)方法一：∵a＝(－1,2)，b＝(3,2)， ∴a－b＝(－4,0)． ∴a·(a－b)＝(－1,2)·(－4,0)＝(－1)×(－4)＋2×0＝4. 方法二：a·(a－b)＝a2－a·b ＝(－1)2＋22－[(－1)×3＋2×2]＝4. (2)∵a＋b＝(－1,2)＋(3,2)＝(2,4)， 2a－b＝2(－1,2)－(3,2)＝(－2,4)－(3,2)＝(－5,2)， ∴(a＋b)·(2a－b)＝(2,4)·(－5,2)＝2×(－5)＋4×2＝－2. (3)(a·b)c＝[(－1,2)·(3,2)](2,1) ＝(－1×3＋2×2)(2,1)＝(2,1)． a(b·c)＝(－1,2)[(3,2)·(2,1)] ＝(－1,2)(3×2＋2×1)＝8(－1,2)＝(－8,16)． [方法总结] 进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质．解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算． [跟踪训练1]　已知a＝(2,1)，b＝(－1,3)．若存在向量c，使得a·c＝4，b·c＝－9，试求向量c的坐标． 解　设c＝(x，y)， 则a·c＝(2,1)·(x，y)＝2x＋y＝4.① 由b·c＝－9，得b·c＝(－1,3)·(x，y)＝3y－x＝－9.② 联立①②得解得∴c的坐标为(3，－2)． 探究二　向量垂直的坐标表示 已知平面向量a＝(1，x)，b＝(2x＋3，－x)(x∈R)． (1)若a⊥b，求x的值； (2)若a∥b，求|a－b|. 解　(1)∵a⊥b， ∴a·b＝0，即1×(2x＋3)＋x×(－x)＝0， 解得x＝－1或x＝3. (2)∵a∥b，∴1×(－x)－x(2x＋3)＝0， 解得x＝0或x＝－2. 又|a－b|＝＝， ∴|a－b|＝2或2. [方法总结] 1．已知向量垂直求参数问题，即由相应向量的数量积为0建立关于参数的方程，求解即可． 2．已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)． 若a∥b⇔x1y2＝x2y1，即x1y2－x2y1＝0； 若a⊥b⇔x1x2＝－y1y2，即x1x2＋y1y2＝0.两个命题不能混淆． [跟踪训练2]　设平面向量a＝(cos α，sin α)(0≤α<2π)，b＝，且a与b不共线． 求证：向量a＋b与a－b垂直． 证明　∵a＝(cos α，sin α)，b＝， ∴a＋b＝， a－b＝， ∴(a＋b)·(a－b)＝ ＋