7.3.5　已知三角函数值求角 配套Word教参-【优化指导】2020-2021学年新教材高中数学必修第三册 (人教B版)

7.3.5　已知三角函数值求角 课程标准 学科素养 1．已知特殊角的三角函数值，会求指定范围内的特殊角． 2．已知三角函数值，掌握利用计算器求指定范围内的角. 通过对已知三角函数值求角的学习，强化直观想象、数学运算的核心素养. 知识点1　利用三角函数线求角 在单位圆中，是正弦线，是余弦线，是正切线，作出三角函数线，即可求得角的大小． [微体验] 1．sin x＝，x∈(0,2π)，则x＝____________. 答案　或 2．sin x＝，x∈R，则x＝____________. 答案　＋2kπ或＋2kπ，k∈Z 知识点2　已知三角函数值求角的符号表示 事实上，在数学中，任意给定一个y∈[－1,1]，当sin x＝y且x∈时，通常记作x＝arcsin y. 在区间[0，π]内，满足cos x＝y(y∈[－1,1])的x只有一个(参见图7－3－19或余弦曲线)，这个x记作arccos y，即x＝arccos y； 在区间内，满足tan x＝y(y∈R)的x只有一个(参见图7－3－20或正切曲线)，这个x记作arctan y，即x＝arctan y. [微体验] (1)arcsin ＝____________； (2)arccos＝____________； (3)arctan 1＝____________. (1)　[sin ＝，∴arcsin ＝.] (2)　[∵cos ＝－，∴arccos＝.] (3)　[∵tan ＝1，∴arctan 1＝.] 探究一　已知三角函数值求角 分别求满足下列条件的x的值： (1)sin x＝，x∈[－π，π]；(2)cos x＝－，x∈；(3)tan x＝－1，x∈；(4)sin x＝，x是锐角． 解　(1)∵sin x＝，x∈[－π，π]，∴x＝或. (2)∵cos x＝－，x∈，∴x＝或. (3)∵tan x＝－1，x∈，∴x＝－. (4)∵sin x＝，x∈，∴x＝arcsin . [方法总结] 已知三角函数值求角时，需要注意x的取值范围． [跟踪训练1]　求满足cos＝，x∈[0，π]的x的值． 解　∵cos＝，∴2x＋＝2kπ±，k∈Z， ∴x＝kπ或kπ－，k∈Z，∵x∈[0，π]，∴x＝0，，π. 探究二　利用单位圆中的三角函数线解不等式 在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边范围，并由此写出角α的集合． (1)sin α≥；(2)cos α≤－. 解　(1)作直线y＝，交单位圆于A，B两点，连接OA，OB，则OA与OB围成的区域(图①中阴影部分)即为角α的终边的范围． 故满足条件的角α的集合为 . (2)作直线x＝－，交单位圆于C，D两点，连接OC与OD，则OC与OD围成的区域(图②中的阴影部分)即为角α的终边的范围． 故满足条件的角α的集合为 . [方法总结] 利用单位圆中的三角函数线解不等式的方法 (1)首先作出单位圆，然后根据各问题的约束条件，利用三角函数线画出角x满足条件的终边的位置． (2)角的终边与单位圆交点的横坐标是该角的余弦值，与单位圆交点的纵坐标是该角的正弦值． (3)写角的范围时，抓住边界值，然后再注意角的范围的写法要求． 提醒：在一定范围内先找出符合条件的角，再用终边相同的角的表达式写出符合条件的所有角的集合． [跟踪训练2]　求函数y＝的定义域． 解　由题意得：2cos x－1≥0，则有cos x≥. 如图在x轴上取点M1使OM1＝，过M1作x轴的垂线交单位圆于点P1，P2，连接OP1，OP2. 则OP1与OP2围成的区域(如图中阴影部分)即为角x的终边的范围． ∴满足cos x ≥ 的角的集合即y＝的定义域为 . 探究三　利用三角函数图像求角 写出sin x<的解集． 解　作出y＝sin x，x∈及y＝的图像如下： 由函数图像可知sin x<时， <x<， 所以sin x <的解集为 [方法总结] 用三角函数的图像解sin x>a(或cos x>a)的方法： (1)作出直线y＝a，y＝sin x(或y＝cos x)的图像； (2)确定sin x＝a(或cos x＝a)的x值； (3)选取一个合适周期写出sin x>a(或cos x>a)的解集，要尽量使解集为一个连续区间． [跟踪训练3]　求下列函数的定义域： (1)y＝； (2)y＝. 解　(1)要使y＝有意义，则必须满足2sin x＋1≥0，即sin x≥－. 结合正弦曲线或三角函数线，如图所示： 知函数y＝的定义域为 . (2)要使函数有意义，必须使sin x－cos x≥0. 利用图像．在同一坐标系中画出[0,2π]上y＝sin x和y＝cos x的图像，如图所示． 在[0,2π]内，满足sin x＝cos x的x为，，再结合正弦、余弦函数的图像．所以定义域为. 1．用三角函数线