阶段复习课(十) 复数 配套Word教参-【优化指导】2020-2021学年新教材高中数学必修第四册 (人教B版)

[对应学生用书P64] [对应学生用书P64] 一、复数的有关概念 1．复数的概念主要包括复数的代数形式、复数的分类、共轭复数及复数的模、复数相等等． 2．复数的分类及复数的相等是本节考查的热点内容，特别是复数分类中“纯虚数”的条件是学习的难点和易错点，学习时应引起足够的重视． [训练1]　设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab＝0”是“复数a＋为纯虚数”的 (　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 B　[∵a＋＝a－bi为纯虚数，∴必有a＝0，b≠0，而ab＝0时有a＝0或b＝0， ∴由a＝0，b≠0⇒ab＝0，反之不成立．∴“ab＝0”是“复数a＋为纯虚数”的必要不充分条件．] [训练2]　若a为实数，且(2＋ai)(a－2i)＝－4i，则a＝ (　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 B　[∵(2＋ai)(a－2i)＝－4i，∴4a＋(a2－4)i＝－4i. ∴解得a＝0.] 二、复数代数形式的四则运算 1．复数的代数运算是本章的核心，包括加、减、乘、除四种运算，尤其是复数的乘除运算，其中渗透着复数的模，共轭复数等概念，是高考考查的热点． 2．复数的代数运算常同复数的有关概念和几何意义有机的结合起来命题．学习该部分知识时，尤其应注意除法运算及虚数单位i的周期性． [训练3]　若i(x＋yi)＝3＋4i，x，y∈R，则复数x＋yi的模是 (　　) A．2 B．3 C．4 D．5 D　[法一　因为i(x＋yi)＝3＋4i，所以x＋yi＝＝＝4－3i，故|x＋yi|＝|4－3i|＝＝5. 法二　因为i(x＋yi)＝3＋4i，所以－y＋xi＝3＋4i，所以x＝4，y＝－3，故|x＋yi|＝|4－3i|＝＝5. 法三　因为i(x＋yi)＝3＋4i，所以(－i)i(x＋yi)＝(－i)·(3＋4i)＝4－3i，即x＋yi＝4－3i，故|x＋yi|＝|4－3i|＝＝5.] [训练4]　已知(1＋2i)＝4＋3i，则的值为 (　　) A．＋i B．－i C．－＋i D．－－i A　[因为(1＋2i)＝4＋3i， 所以＝＝＝2－i， 所以z＝2＋i， 所以＝＝＝＋i.] 三、复数或复数加减法的几何意义 1．复数z＝a＋bi(a，b∈R)的几何意义，同复平面上的点Z(a，b)是一一对应的，同向量是一一对应的． 2．复数模的几何意义，|z|＝r表示圆心在原点，半径为r的圆． 3．复数加减法的几何意义，完全可以类比向量加、减法的几何意义进行求解． [训练5]　在复平面内，向量对应的复数是2＋i，向量对应的复数是－1－3i，则向量对应的复数为 (　　) A．1－2i B．－1＋2i C．3＋4i D．－3－4i D　[∵对应复数是2＋i，对应复数是1＋3i， ∴对应复数是(2＋i)＋(1＋3i)＝3＋4i， ∴对应的复数是－3－4i.] [训练6]　已知z＝1－i. (1)若z2＋az＋b＝1＋i，a，b∈R，求a，b； (2)设复数z1＝x＋yi(x，y∈R)满足|z1－z|＝1，试求复数z1在复平面内对应的点(x，y)到原点距离的最大值． 解　(1)∵z2＋az＋b＝1＋i，且z＝1－i， ∴－2i＋a－ai＋b＝1＋i， ∴a＋b－(2＋a)i＝1＋i， ∴，解得a＝－3，b＝4. (2)设z1＝x＋yi(x，y∈R)， ∴|(x＋yi)－(1－i)|＝1，即|(x－1)＋(y＋1)i|＝1， ∴(x－1)2＋(y＋1)2＝1. 即复数z1在复平面内对应的点的轨迹是以(1，－1)为圆心，以1为半径的圆． ∴dmax＝＋1＝＋1. 四、复数的三角形式及其运算 1．复数z＝r(cos θ＋isin θ)是复数z的三角形式，其中θ为复数的辐角，任何复数都可以写成三角形式． 2．复数三角形式的乘除运算，注意辐角的变化．复数相乘，模相乘，辐角相加；复数相除，模相除，辐角相减． 3．复数z1，z2的乘除运算的几何意义就是将z1对应的向量绕原点旋转z2的辐角主值(乘法是逆时针旋转，除法是顺时针旋转)，再将模进行变化(乘法时模变为原来的r2倍，除法时模变为原来的倍)． [训练7]　已知z1＝3， z2＝，则z1z2＝ ，＝ .(用代数形式表示) ＋i　－i　[z1z2 ＝3 ＝3 ＝3＝＋i. ＝ ＝ ＝(0－i)＝－i.] [训练8]　将复数1＋i所表示的向量绕原点O按逆时针方向旋转θ角(0<θ<2π)所得的向量对应的复数为－2，求θ的大小． 解由题意知，(1＋i)(cos θ＋isin θ)＝－2， 即2(cos θ＋isin θ)＝ 2＝－2， 所以cos＝－1，sin＝0， 又0<θ<2π，所以θ＝. $$