阶段复习课(九) 解三角形 配套Word教参-【优化指导】2020-2021学年新教材高中数学必修第四册 (人教B版)

[对应学生用书P62] [对应学生用书P62] 一、利用正、余弦定理解三角形 利用正、余弦定理解三角形问题主要就是利用正、余弦定理及其变形式求三角形的边和角，此类问题主要有以下四种类型： (1)已知三边：先由余弦定理求出两个角，再由A＋B＋C＝π，求第三个角． (2)已知两边及其中一边的对角：先用正弦定理求出另一边的对角，再由A＋B＋C＝π，求第三个角，最后利用正弦定理或余弦定理求第三边． (3)已知两边及夹角：先用余弦定理求出第三边，然后再利用正弦定理或余弦定理求另两角． (4)已知两角及一边：先利用内角和求出第三个角，再利用正弦定理求另两边． [训练1]　(2018·全国卷Ⅱ)在△ABC中，cos＝，BC＝1，AC＝5，则AB＝ (　　) A．4 B． C． D．2 A　[∵cos＝， ∴cos C＝2cos2－1＝2×2－1＝－. 在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC· cos C＝52＋12－2×5×1×＝32， ∴AB＝＝4.] [训练2]　△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asin A－bsin B＝4csin C，cos A＝－，则＝ (　　) A．6 B．5 C．4 D．3 A　[∵asin A－bsin B＝4csin C， ∴由正弦定理得a2－b2＝4c2，即a2＝4c2＋b2. 由余弦定理得cos A＝＝＝＝－，∴＝6.] 二、 判断三角形的形状 1．欲判断三角形的形状特征，必须深入研究三角形的边与边的大小关系，还要研究角与角的大小关系．解这类问题的思想方法是：从条件出发，利用正弦定理(或余弦定理)进行代换转化，逐步将给出的式子化为纯粹的边与边的关系或角与角的关系，通过运算求出边或角的大小，或者确定边与边或角与角之间的等量关系，从而正确判定三角形的形状． 2．判定三角形形状时的常用结论有 ①在△ABC中，A＞B⇔a＞b⇔sin A＞sin B⇔cos A＜cos B； ②在△ABC中，A＋B＋C＝π，A＋B＝π－C，＝－，则cos(A＋B)＝－cos C，cos＝sin，sin(A＋B)＝sin C，sin＝cos； ③在△ABC中，a2＋b2＜c2⇔cos C＜0⇔＜C＜π，a2＋b2＝c2⇔cosC＝0⇔C＝，a2＋b2＞c2⇔cos C＞0⇔0＜C＜. [训练3]　设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝2bsin A，b2＋c2－a2＝bc，则△ABC的形状为 (　　) A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 C　[∵b2＋c2－a2＝bc，∴cos A＝＝＝， ∵A为三角形内角，∴A＝60°，∴a＝2bsin A＝b. 利用正弦定理化简，得sin A＝sin B，即sin B＝， ∴B＝30°或B＝150°(不合题意，舍去)， ∴C＝90°，即△ABC为直角三角形．] [训练4]　在△ABC中，若＝，试判断△ABC的形状． 解　由已知＝＝＝，得＝. 可有以下两种解法： (方法一)利用正弦定理，将边化为角． 由正弦定理得＝， ∴＝， 即sin Ccos C＝sin Bcos B，即sin 2C＝sin 2B． ∵B，C均为△ABC的内角， ∴2C＝2B或2C＋2B＝180°. ∴B＝C或B＋C＝90°. ∴△ABC为等腰三角形或直角三角形． (方法二)利用余弦定理，将角化为边． ∵＝， ∴由余弦定理得＝， 即(a2＋b2－c2)c2＝b2(a2＋c2－b2)． ∴a2c2－c4＝a2b2－b4，即a2b2－a2c2＋c4－b4＝0. ∴a2(b2－c2)＋(c2－b2)(c2＋b2)＝0， 即(b2－c2)(a2－b2－c2)＝0. ∴b2＝c2或a2－b2－c2＝0， 即b＝c或a2＝b2＋c2. ∴△ABC为等腰三角形或直角三角形． 三、正、余弦定理与三角形的面积 求三角形的面积需知道三角形的边及角，因此求三角形的面积与正、余弦定理的应用密切相关，常见的三角形面积公式有以下几种： (1)S△ABC＝aha＝bhb＝chc. (2)S△ABC＝absin C＝bcsin A＝acsin B． (3)S△ABC＝r(a＋b＋c)(r为内切圆半径)． (4)S＝(R为外接圆半径)． [训练5]　(2018·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsin C＋csin B＝4asin Bsin C，b2＋c2－a2＝8，则△ABC的面积为 . 　[∵bsin C＋csin B＝4asin Bsin C， ∴由正弦定理得sin Bsin C＋sin Csin B＝4sin Asin Bsin C． 又sin Bsin C>0，∴sin A＝. 由余弦定理得cos A＝＝＝>