章末整合提升 体系构建 素养提升-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第四册教用课件（人教B版）

该高中数学单元复习课件系统梳理了解三角形的核心知识，涵盖正弦定理、余弦定理、三角形面积公式及实际应用，通过体系构建将定理公式、已知条件分类（如两边及夹角、两边及对角）与应用场景串联，形成完整知识网络。 其亮点在于聚焦数学运算、逻辑推理、数学建模核心素养，如以高考真题为例训练定理应用（数学运算），通过多方法证明三角形形状培养推理能力（逻辑推理），结合工厂噪声问题构建模型（数学建模）。分层设计让学生巩固知识，教师可精准教学，提升复习效率。

章末整合提升　体系构建　素养提升 1 01 PART 体系构建 数学·必修第四册（B版） 02 PART 素养培优 一、数学运算 　　数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题 的过程.主要包括：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算方向，选择 运算方法，求得运算结果等.在本章中，数学运算主要表现在利用正、余 弦定理解三角形上. 数学·必修第四册（B版） （1）求B； 解：由余弦定理有a2＋b2－c2＝2ab cos C， 对比已知a2＋b2－c2＝ ab， 可得 cos C＝ ＝ ＝ ， 因为C∈（0，π），所以C＝ ， 又 sin C＝ cos B，所以 ＝ cos B， 即 cos B＝ ，又B∈（0，π），所以B＝ . 培优一｜利用正、余弦定理解三角形 【例1】　（2024·新高考Ⅰ卷15题）记△ABC的内角A，B，C的对边分别 为a，b，c，已知 sin C＝ cos B，a2＋b2－c2＝ ab. 数学·必修第四册（B版） （2）若△ABC的面积为3＋ ，求c. 解：由（1）可得A＝ ， 则 sin A＝ sin ＝ sin （ ＋ ）＝ × ＋ × ＝ ，由正弦定理 有 ＝ ， 从而a＝ · c＝ c， 又S△ABC＝ ac sin B＝3＋ ，即ac＝4（ ＋1）， 将a＝ c代入，解得c＝2 . 数学·必修第四册（B版） 二、逻辑推理 　　逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据逻辑规则推出一个命题的 思维过程.在本章中，逻辑推理主要表现在利用正、余弦定理判定三角形 的形状上. 数学·必修第四册（B版） 培优二｜判断三角形的形状 【例2】　△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A＝ ， b－c＝ a，证明：△ABC是直角三角形. 证明：法一　由b－c＝ a可得a＝ （b－c）， 又∵ cos A＝ ＝ ，即b2＋c2－a2＝bc， ∴b2＋c2－3（b－c）2＝bc⇒（b－2c）（2b－c）＝0， ∴b＝2c或c＝2b（舍）， ∴a＝ c，即a2＋c2＝b2，故△ABC为直角三角形. 数学·必修第四册（B版） 法二　∵b－c＝ a， ∴由正弦定理得 sin B－ sin C＝ sin A＝ ， ∵A＋B＋C＝π，∴ sin － sin C＝ ， 又∵ sin － sin C＝ cos C＋ sin C－ sin C＝ cos C－ sin C＝ sin ＝ ， ∴ －C＝ 或 －C＝ （舍）， ∴C＝ ，∴B＝π－A－C＝ ， 故△ABC为直角三角形. 数学·必修第四册（B版） 三、数学建模 　　数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题，用数学 知识与方法构建模型解决问题的过程.在本章中，数学建模主要表现在利 用正、余弦定理解决实际问题上. 数学·必修第四册（B版） 培优三｜正、余弦定理在解决实际问题中的应用 【例3】　如图，已知两条公路AB，AC的交会点A处有一学校，现拟在两 条公路之间的区域内建一工厂P，在两公路旁M，N（异于点A）处设两 个销售点，且满足∠A＝∠PMN＝75°，MN＝（ ＋ ）千米，MP ＝2 千米，设∠AMN＝θ. 数学·必修第四册（B版） （1）试用θ表示AM，并写出θ的范围； 解：已知∠AMN＝θ， 在△AMN中，由正弦定理得 ＝ . ∵MN＝ ＋ ，∴AM＝4 sin （75°＋θ）（0°＜θ＜105°）. （2）当θ为多大时，工厂产生的噪声对学校的影响最小（即工厂与学校 的距离最远）.（ 注： sin 75°＝ ） 数学·必修第四册（B版） 解：在△APM中，AM＝4 sin （75°＋θ）， ∴AP2＝AM2＋MP2－2AM·MP cos ∠AMP ＝16 sin 2（75°＋θ）＋12－16 sin （75°＋θ）· cos （75°＋θ） ＝8[1－ cos （2θ＋150°）]－8 sin （2θ＋150°）＋12 ＝20－8[ sin （2θ＋150°）＋ cos （2θ＋150°）] ＝20－16 sin （2θ＋180°） ＝20＋16 sin 2θ（0°＜θ＜105°）， 当且仅当2θ＝90°，即θ＝45°时，AP2取得最大值36，即AP取得最大值6. 故当θ＝45°时，工厂产生的噪声对学校的影响最小. 数学·必修第四册（B版） $