专题20 抛物线（客观题）-2021年高考数学二轮复习热点题型精选精练（新高考地区专用）

专题20 抛物线（客观题） 一、单选题 1．设抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，是上一点．若，则 A． B． C． D． 【试题来源】北京市朝阳区2021届高三上学期期末数学质量检测试题 【答案】C 【分析】根据，利用抛物线的定义求得点P的坐标，然后利用两点间距离公式求解． 【解析】设，因为，由抛物线的定义得，解得， 所以，又，所以，故选C. 2．已知双曲线上存在两点M，N关于直线对称，且的中点在抛物线上，则实数b的值为 A．0或 B．0 C． D． 【试题来源】云南省昆明市第一中学2021届高三第五次复习检测（理） 【答案】A 【分析】设，，的中点，根据点M，N在双曲线上，且P为中点，利用点差法得到，再由M，N关于直线对称，得到，则，又点在直线上，得到，联立求得点P，代入抛物线方程求解． 【解析】设，，的中点， 因为，所以；因为，所以； 因为M，N关于直线对称，所以，即； 因为点在直线上，所以； 由，可得，所以，即或，故选A． 【名师点睛】圆锥曲线上两点关于直线的对称问题主要有联立方程法和点差法两种解法． 3．已知双曲线上存在两点M，N关于直线对称，且的中点在抛物线上，则实数m的值为 A．或3 B． C．3 D． 【试题来源】云南省昆明市第一中学2021届高三第五次复习检测（文） 【答案】C 【分析】设，，的中点，，坐标代入双曲线方程由点差法得到，又M，N关于直线对称，可得， 又由点在直线上，可求得，代入抛物线方程可得答案． 【解析】设，，的中点，因为， 所以；因为，所以； 因为M，N关于直线对称，所以，即； 因为点在直线上，所以； 由可得，所以，即．故选C． 【名师点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，点对称的问题，对于圆锥曲线上存在两点关于某一直线对称，这类问题的一般解法是利用对称性的特点，从中点和垂直两个方面考虑，设出坐标而不求坐标，与曲线弦的斜率和中点有关的问题都可以用此方法． 4．已知抛物线上三点，直线是圆的两条切线，则直线的方程为 A． B． C． D． 【试题来源】2021年普通高等学校招生全国统一考试模拟演练数学 【答案】B 【分析】先利用点求抛物线方程，利用相切关系求切线AB，AC，再分别联立直线和抛物线求出点，即求出直线方程． 【解析】在抛物线上，故，即，抛物线方程为， 设过点与圆相切的直线的方程为，即，则圆心到切线的距离，解得，如图，直线，直线． 联立 ，得， 故，由得，故， 联立 ，得， 故，由得，故， 故，又由在抛物线上可知， 直线的斜率为 ， 故直线的方程为，即．故选B． 【名师点睛】求圆的切线的方程的求法：（1）几何法：设直线的方程，利用圆心到直线的距离等于半径构建关系求出参数，即得方程；（2）代数法：设直线的方程，联立直线与圆的方程，使判别式等于零解出参数，即可得方程． 5．已知抛物线(为常数)过点，则抛物线的焦点到它的准线的距离是 A． B． C． D． 【试题来源】天津市红桥区2020-2021学年高三上学期期末 【答案】B 【分析】根据点可求出，即可求出焦点到它的准线的距离． 【解析】抛物线过点，， 抛物线的方程为，则焦点为，准线为， 焦点到它的准线的距离为．故选B． 6．已知点A(1，0)，B(5，1)，点P为抛物线上任意一点，则的最小值为 A．6 B．7 C．8 D． 【试题来源】贵州省贵阳市第一中学2021届高考适应性月考卷（三）（文） 【答案】A 【分析】由题知点为该抛物线的焦点，进而根据抛物线的定义得，即最小值为 【解析】由题意可知，点为该抛物线的焦点， 分别过点作直线（也即抛物线的准线）的垂线交直线于点，如图， 则有， 当且仅当三点共线时等号成立，所以最小值为6．故选A． 【名师点睛】本题解题的关键在于根据题意将问题转化为，再根据图形得三点共线时取得最小值，考查化归转化思想与运算求解能力，是基础题． 7．已知抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，则 A． B． C．5 D． 【试题来源】北京市中国人民大学附属中学2021届高三上学期数学统练5试题 【答案】C 【分析】首先求抛物线的焦点坐标，由双曲线方程可知，求的值． 【解析】抛物线的焦点是， 双曲线中，，由题意可知，解得．故选C 8．已知抛物线的焦点为双曲线的一个焦点，那么 A． B．5 C．10 D．20 【试题来源】河南省2021届高三名校联盟模拟信息卷（文） 【答案】C 【分析】分别表示出抛物线的焦点与双曲线的左焦点，进而构建等式求解即可． 【解析】双曲线的左焦点坐标是，抛物线的焦点为所以，解得．故选C． 9．若点是抛物线上一点，且点到焦点的距离是它到轴距离的3倍，则的中点到轴距离等于 A．1 B． C．2 D．3 【试题来源】河南省2021届高三上学期名校联盟模拟信息卷（理） 【答案】B 【分析】利用抛物线上的点