专题22 三等角相似模型-2021年中考数学解题方法归纳提升

专题22 三等角相似模型 一、单选题 1．如图，在矩形中，，是的中点，连接，，是边上一动点，沿过点的直线将矩形折叠，使点落在上的点处，当是直角三角形时，的值为（ ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】 根据矩形的性质得到AD=BC=6，∠BAD=∠D=∠B=90°，根据勾股定理得到AE=，设PD′=PD=x，则AP=6-x，当△APD′是直角三角形时，①当∠AD′P=90°时，②当∠APD′=90°时，根据相似三角形的性质列出方程，解之即可得到结论． 【详解】 解：∵在矩形ABCD中，AB=4，BC=6， ∴AD=BC=6，∠BAD=∠D=∠B=90°， ∵E是BC的中点， ∴BE=CE=3， ∴AE=， ∵沿过点P的直线将矩形折叠，使点D落在AE上的点D′处， ∴PD′=PD， 设PD′=PD=x，则AP=6-x， 当△APD′是直角三角形时， ①当∠AD′P=90°时， ∴∠AD′P=∠B=90°， ∵AD∥BC， ∴∠PAD′=∠AEB， ∴△ABE∽△PD′A， ∴， ∴， ∴x=， ∴PD=； ②当∠APD′=90°时， ∴∠APD′=∠B=90°， ∵∠PAE=∠AEB， ∴△APD′∽△EBA， ∴， ∴， ∴x=， ∴PD=， 综上所述，当△APD′是直角三角形时，PD=或， 故选：B． 【点睛】 本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，相似三角形的判定和性质，正确的理解题意是解题的关键． 2．如图，正方形ABCD边长为4，边BC上有一点E，以DE为边作矩形EDFG，使FG过点A，则矩形EDFG的面积是（　　） A．16 B．8 C．8 D．16 【答案】D 【分析】 先利用等角的余角证明∠ADF＝∠EDC，再根据相似三角形的判定方法证明△ADF∽△CDE，然后利用相似比计算DF与DE的关系式，最后根据矩形的面积公式求得矩形的面积便可.. 【详解】 解：∵四边形ABCD为正方形， ∴AD＝CD＝4，∠ADC＝∠C＝90°， ∵四边形EDFG为矩形， ∴∠EDF＝∠F＝90°， ∵∠ADF+∠ADE＝90°，∠ADE+∠EDC＝90°， ∴∠ADF＝∠EDC， ∴△ADF∽△CDE， ∴，即 ， ∴DF＝， ∴矩形EDFG的面积为：DE•DF＝DE•＝16． 故选：D． 【点睛】 本题主要考查了相似三角形的性质，根据矩形的性质求面积是解题重要一步． 3．如图，在矩形中，，，、、、分别为矩形边上的点，过矩形的中心，且．为的中点，为的中点，则四边形的周长为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 连接，证明四边形是矩形，再证明，求得与的长度，由勾股定理求得与，再由矩形的周长公式求得结果． 【详解】 解：连接， 四边形是矩形， ，， 为的中点，为的中点， ，， 四边形是平行四边形， ， 矩形是中心对称图形，过矩形的中心． 过点，且，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， 解得，或4， 或4， 当时，，则， ， 四边形的周长； 同理，当时，四边形的周长； 故选：． 【点睛】 本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，关键在于证明四边形是矩形． 4．如图，在反比例函数的图象上有一动点，连接并延长交图象的另一支于点，在第二象限内有一点，满足，当点运动时，点始终在函数的图象上运动，若，则的值为（ ） A．－6 B．－12 C．－18 D．－24 【答案】B 【分析】 连接OC，过点A作AE⊥x轴于点E，过点C作CF⊥y轴于点F，通过角的计算找出∠AOE＝∠COF，结合“∠AEO＝90°，∠CFO＝90°”可得出△AOE∽△COF，根据相似三角形的性质得出比例式，再由，得出，可得出CF•OF的值，进而得到k的值． 【详解】 如图，连接OC，过点A作AE⊥x轴于点E，过点C作CF⊥y轴于点F， ∵由直线AB与反比例函数的对称性可知A、B点关于O点对称， ∴AO＝BO， 又∵AC＝BC， ∴CO⊥AB， ∵∠AOE＋∠AOF＝90°，∠AOF＋∠COF＝90°， ∴∠AOE＝∠COF， 又∵∠AEO＝90°，∠CFO＝90°， ∴△AOE∽△COF， ∴， ∵， ∴， ∴CF＝2AE，OF＝2OE， 又∵AE•OE＝3， ∴CF•OF＝|k|＝4×3＝12， ∴k＝±12， ∵点C在第二象限， ∴k＝−12， 故选：B． 【点睛】 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的性质以及相似三角形的判定及性质，解题的关键是求出CF•OF＝12．解决该题型题目时，巧妙的利用了相似三角形的性质找出对应边的比例，再结合反比例函数图象上点的坐标特征找出结论． 二、解答题 5．定义：有两个相邻内角互余的凸四边形称为