专题17 解三角形（客观题）-2021年高考数学二轮复习热点题型精选精练（新高考地区专用）

专题17 解三角形（客观题） 一、单选题 1．若三角形的三边是三个连续的自然数，且最大角是最小角的倍，则这样的三角形 A．三边为，， B．三边为，， C．三边为，， D．不存在 【试题来源】四川省绵阳市南山中学实验学校2020-2021学年高三第一学期第一次诊断（理） 【答案】B 【解析】设三角形三边是连续的三个自然，三个角分别为，，2，由正弦定理可得，即， 再由余弦定理可得， 所以，解得，故三角形的三边长分别为4，5，6，故选B． 2．已知O是的外心，，，若，且，则的面积为 A． B．18 C．24 D． 【试题来源】山东省枣庄市滕州市2020-2021学年高三上学期期中 【答案】D 【分析】由外心的性质建立，进—步利用向量的线性运算和数量积运算建立三角函数的关系式，进一步求出，最后利用三角形的面积公式求出结果． 【解析】取的中点为，连接，因为O是的外心，所以， 由于，则， 所以， 即，得，即，， 则.故选D. 【名师点睛】本题主要考查了向量知识的应用以及三角形面积公式的应用，解题的关键在于由外心的性质出发得出，结合数量积公式建立三角函数的关系式，进一步求出． 3．某公园有一个边长为的等边三角形花圃，现要在花圃中修一条篱笆，将花圃分成面积相等的两部分，则篱笆的最短长度为 A． B． C． D． 【试题来源】广东省肇庆市2021届高三上学期第一次（11月）统一检测 【答案】D 【分析】设等边三角形花圃为，篱笆的长度为，的长为，先求出的面积，再利用面积公式求出的面积让其等于的面积的一半，即可求出，在中，由余弦定理可得，再利用基本不等式即可求的最值，进而可得篱笆长的最小值． 【解析】设等边三角形花圃为，因为边长为，所以， 设篱笆的长度为，的长为， 则， 因为，所以，即，所以， 在中，由余弦定理可得， 即， 由基本不等式可得， 当且仅当即时，篱笆长取得最小值为，故答案为D. 【名师点睛】本题的关键点是设篱笆的长度为，的长为，先利用面积等于的面积的一半，即可求出，在中，由余弦定理可得 ，即可利用基本不等式求最值． 4．在中，若，则的形状一定是 A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 【试题来源】上海市虹口区2021届高三上学期一模 【答案】B 【分析】先利用数量积运算化简得到，再利用余弦定理化简得解． 【解析】因为，所以，所以， 所以，所以，所以三角形是直角三角形．故选B 【名师点睛】判断三角形的形状，常用的方法有：（1）边化角；（2）角化边．在边角互化时常利用正弦定理和余弦定理． 5．已知中，角，，所对的边分别为，，，若，，则，则 A．4 B．1 C．2 D．3 【试题来源】广东省清远市2021届高三上学期11月摸底 【答案】C 【解析】再中，，正弦定理化简得， ，，，则，解得．故选C． 【名师点睛】由，且，等式两边同乘，得，再利用余弦定理化简． 6．在中，角，，的对边分别是，，，且，，成等差，，则的取值范围是 A． B． C． D． 【试题来源】江西省萍乡市2021届高三上期数学期中复习试卷（理）试题 【答案】A 【分析】在中，由，，成等差，结合三角形内角和定理得，再由余弦定理列式，配方后利用基本不等式求解． 【解析】在中，由，，成等差，可得， 由，得，．由余弦定理， 可得，即， 则，解得． 又．的取值范围是，．故选A. 【名师点睛】利用余弦定理可得等式，运用均值不等式可得关于的一元二次不等式，解不等式可求解，这是本题的解题关键，属于中档题． 7．克罗狄斯·托勒密（Ptolemy）所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当对角互补时取等号，根据以上材料，完成下题：如图，半圆的直径为2，为直径延长线上的一点，，为半圆上一点，以为一边作等边三角形，则当线段的长取最大值时， A．30° B．45° C．60° D．90° 【试题来源】江苏省南通市海安县2020-2021学年高三上学期期中调研考试 【答案】C 【分析】根据已知条件先分析出的最大值并得到之间的关系，由此借助余弦定理求解出的长度，再利用余弦定理即可求解出的大小． 【解析】因为，且为等边三角形，， 所以，所以，所以的最大值为，取等号时，所以，不妨设， 所以，所以解得， 所以，所以，故选C． 【名师点睛】解答问题的关键是理解题中所给的定理，由此分析得到角的关系，并借助余弦定理即可求解出结果． 8．在中，的面积为S，，，且满足，则该三角形的外接圆的半径R为 A． B． C． D．2 【试题来源】江西省南昌县莲塘第一中学2021届高三12月质量检测（理） 【答案】B 【分析】先利用三角形的面积公式和余弦定理得到，再根据向量的数量积的运算，求得，由正弦定理和余弦定理，