专题05 函数、方程与导数-备战2021年高考数学二轮专题训练冲刺提升（江苏专用）

专题05 函数、方程与导数 1、 填空题 1. 函数的单调增区间是________． 2. 已知函数，若，则实数a的值是_________ 3. 若函数是偶函数，则实数a的值为          ． 4. 已知函数，若，则_____________． 5. 函数为定义在R上的奇函数，且满足，若，则______． 6. 已知函数图象与函数图象在交点处切线方程相同，则m的值为______ 7. 已知函数，其中若，是方程的两个不同的实数根，且的最小值为，则当时，的最小值为________． 8. 已知函数的图象上有且仅有两个不同的点关于直线的对称点在的图象上，则实数k的取值范围是____________． 9. 已知函数，，若函数有3个不同的零点且，则的取值范围是             ． 10. 已知定义在R上的偶函数满足且当时，若对于任意，都有，则实数t的取值范围为___________． 二、解答题 11. 已知O为坐标原点，，，，若． 求函数的最小正周期和单调递增区间； 将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位，得到函数的图象，求函数在上的最小值． 12. 已知函数． 当时，求在区间上的最大值和最小值； 如果函数在公共定义域D上，满足那么就称为的活动函数已知函数，若在区间上函数是的活动函数，求a的取值范围 13. 江南某湿地公园内有一个以O为圆心，半径为米的圆形湖心洲该湖心洲的所对两岸近似两条平行线，且两平行线之间的距离为米公园管理方拟修建一条木栈道，其路线为如图，A在B右侧其中，BC与圆O相切于点Q，米设 满足． 试将木栈道的总长表示成关于的函数，并指出其定义域； (2) 求木栈道总长的最短长度． 14. 已知函数的定义域为D，若满足，则称函数为“L型函数”． 判断函数和是否为“L型函数”，并说明理由； 设函数，记为函数的导函数． 若函数的最小值为1，求a的值； 若函数为“L型函数”，求a的取值范围． 15. 已知函数． 当时，求函数在处的切线方程； 当时，证明：函数只有一个零点； 若函数的极大值等于0，求实数a的取值范围． 16. 已知函数，其中． 若函数的图象在处的切线与直线垂直，求实数a的值； 设函数． 求函数的单调区间；若不等式对任意的实数恒成立，求实数a的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 $$ 专题05 函数、方程与导数 1、 填空题 1. 函数的单调增区间是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查利用导数研究函数的单调性，属基础题，正确求得函数的导数是关键． 【解答】 解：函数的导数为． 由函数导数与函数单调性的关系，得当时，函数单调递增， 此时由不等式，解得． 2. 已知函数，若，则实数a的值是_________ 【答案】 【解析】 【分析】 本题考查分段函数的求值问题，属于基础题型，易知，即可求解． 【解答】 解： ， ， 故答案为 3. 若函数是偶函数，则实数a的值为          ． 【答案】 【解析】 【分析】 本题考查辅助角公式的运用，考查三角函数的性质，属于基础题． 利用辅助角公式化简，其中，再利用函数为偶函数，得到，得到即可求解a的值． 【解答】 解：， 其中 因为是偶函数，则 所以， 则， 故 解得． 故答案为． 4. 已知函数，若，则_____________． 【答案】2 【解析】 【分析】 本题主要考查分段函数，分情况讨论变量值的范围是解题关键，属于中档题． 利用自变量取值情况，进行分段讨论即可得到答案． 【解答】 解：当时，， 所以， 因为，所以，即， 所以或舍， 所以； 当时，所以，因为为单调函数， 所以不成立； 综上可得． 5. 函数为定义在R上的奇函数，且满足，若，则______． 【答案】3 【解析】 【分析】 本题主要考查函数的周期性，属于基础题， 由条件求出函数的周期是解题的关键． 【解答】 解：为奇函数，， 又，，即 ，函数是周期为4的周期函数， 又，，，所以 ． 所以 故答案为3． 6. 已知函数图象与函数图象在交点处切线方程相同，则m的值为______ 【答案】e 【解析】解：设函数和的交点为， 则由，得， 在处的切线方程的斜率， 同理，函数在处的切线方程的斜率， 和在交点处切线方程相同， ，即， 又，， 由解得，． 故答案为：e． 设函数和的交点为，求出和在处切线方程的斜率，然后建立关于m的方程，再求出m的值． 本题考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，考查了方程思想，属基础题． 7. 已知函数，其中若，是方程的两个不同的实数根，且的最小值为，则当时，的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】 本题考查了函数的图象与性质，三角函数的最值，根据题意，是方程的