解三角形六种题型七个解题方法导引

解三角形六种题型七个解题方法导引 【知识梳理】 1．正弦定理 ＝＝＝2R 其中2R为△ABC外接圆直径。 变式1：a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC。 变式2：，， 变式3：a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC。 2．余弦定理 a2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝a2＋c2－2accosB；c2＝a2＋b2－2abcosC。 （边换角后）sin2A＝sin2B＋sin2C－2sinBsinCcosA。 变式1：cosA＝；cosB＝；cosC＝。 变式2：a2＝（b＋c）2－2bc（1+cosA）（题目已知b＋c，bc或可求时常用） 3．解三角形的类型 (1)已知三角形的任意两个角与一边，用_正弦__定理，只有一解． (2)已知三角形的任意两边与其中一边的对角，用__正弦　_定理，可能有一解、两解或无解． 如在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如表： A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 a＝bsinA bsinA<a<b a≥b a>b 解的个数 ①一解 ②两解 ③一解 ④一解 (3)已知三边，用__)余弦__定理．有解时，只有一解． (4)已知两边及夹角，用__余弦__定理，必有一解． 4．三角形常用面积公式 (1)S＝a·h。 (2)S＝absinC＝acsinB＝bcsinA＝。 (3)S＝r(a＋b＋c)(r为内切圆半径)。 5.在△ABC中，常有以下结论： 1．∠A＋∠B＋∠C＝π。 2．任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。 3．sin(A＋B)＝sinC；cos(A＋B)＝－cosC；tan(A＋B)＝－tanC； sin＝cos；cos＝sin。 4.大边对大角，大角对大边（若A不是最大角，则A一定是锐角） 5.中线定理、角平分线定理 【解题方法导引】 1、题目中给出等式时：先观察是否存在边的齐次、角正弦的齐次，然后进行边、角互化 如“”可转化为“”等（也可角化边），如“”不可转化为“”. 1. 等式中同时出现A,B,C三个角时，一定是会把一个角化掉（或另两个角合并成一个角），用另外两角代替，再展开，例：sinB＋sinA(sinC－cosC)＝0，则把B化掉，sin(A＋C)＋sinAsinC－sinAcosC＝0，展开后sinC(sinA＋cosA)＝0，sinA＋cosA＝0，所以tanA＝－1， 1. 题目中出现化简时，①出现同角正余弦相乘、半角，用二倍角公式化简，例如,，②出现sinAcosC＋sinCcosA时，可以合并为sin(A+C) 4、求两个角倍数的加减运算的正余弦值时，一般展开计算，把每个角的正余弦算出来，例如：求sin(2A－B)=sin2AcosB－cos2AsinB，然后把算出的B,2A的正余弦值代入，即可求得。 5、代换思想 ①边之比与角之比可以互化，即，注意题目求值时可以互化求值 ②等式中出现平方项（）或两边乘积（bc）时，一般用余弦定理代换或求解，例：出现+-时，用2bccos替换 ③当等式中出现同角的正余弦且求其中一个值时，考虑平方，然后用平方和等于1代换调，用解方程的方法解出。例，两边平方， 整理得，解得， 6、第三边上一点与顶点连线，经常用到以这个点为顶点的角的正弦值相等，余弦值相反列等式。 7、面积、范围问题：①建立如“”之间的等量关系与不等关系，可以通过均值不等式、三角函数有界性求出，②全部转化为角的关系，建立函数关系式，如，从而求出范围。 【典型题型】 题型一：解三角形个数问题 1．已知中，，则的面积为（ ） A．9 B．18 C． D． 【答案】C 方法导引：由题意得，在中，，所以，所以此三角形为等腰三角形，所以,所以三角形的面积为，故选C. 2．在中，，，，则的值为（ ） A. B. C. 或 D. 不存在 【答案】 方法导引：据题意,由正弦定理,将，，代入可得,那么为或.故本题选. 3．在中，，则的面积等于（ ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 方法导引：由余弦定理可得：或，当时， ，当时，．故选B. 4．在中，角的对边分别是，已知，则，则的面 积为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 方法导引：由正弦定理，又，且，所以，所以，所以三角形的面积为． 5．钝角三角形的面积是，则（ ） A．5